文档介绍：傅氏变换的不足:①许多信号不满足绝对可积条件
虽借助于广义函数求得傅氏变换,但频谱
中出现冲激函数,计算较麻烦。
再如信号
则不存在傅氏变换
傅氏变换分析法在信号分析和处理方面十分有效
傅氏变换的不足:②傅氏变换分析法只能求取零状态响应
第九章拉普拉斯变换分析
拉普拉斯变换(简称拉氏变换)可看作一种广义的傅氏变换,将频域扩展为复频域,简化了信号的变换式,扩大了信号的变换范围,为分析系统响应提供了统一和规范化的方法。
9-1 拉普拉斯变换
9-1-1 从傅氏变换到拉氏变换
信号不满足绝对可积条件的原因
上两式称一对拉普拉斯变换式
正变换
反变换
拉氏变换扩大了信号的变换范围
变换域的内在联系
时域函数
频域函数
时域函数
复频域函数
由于实际信号都是有始信号,即
或者只需考虑 t≥0 的部分,此时
积分下限用 0- 目的是把 t=0 时可能出现的冲激包含进去,这样,利用拉氏变换求解微分方程时,可以直接引用已知的初始状态 f (0-) ,但反变换的积分限并不改变。
以后只讨论单边拉氏变换,并把单边拉氏变换简称拉氏变换。
单边拉普拉斯变换
拉氏变换的收敛域
信号 f (t) 乘以收敛因子后,有可能满足绝对可积的条件
是否一定满足,还要看 f (t) 的性质与σ的相对关系
通常把使 f (t)e-σt 满足绝对可积条件的σ值的范围称为拉氏变换的收敛域
如:有始有终的能量信号
按指数规律增长的信号,如eαt
比指数信号增长的更快的信号,如
找不到σ0 ,不存在拉氏变换
单边拉氏变换的收敛域是
复平面(s)内,Re(s) =σ>σ0 区域
单边拉氏变换由于收敛域比较容易确定,一般情况下不再标注收敛域。
9-1-2 一些典型信号的拉氏变换
1. 指数信号
由此,可导出一些常用函数的拉氏变换:
( b ) 单边正弦信号
( c ) 单边余弦信号