文档介绍：第六节抽样z变换 频率抽样理论
我们将先阐明:
(1)z变换与DFT的关系(抽样z变换),在此基础上引出抽样z变换的概念,并进一步深入讨论频域抽样不失真条件。
(2)频域抽样理论(频域抽样不失真条件)
(3)频域内插公式
一、z变换与DFT关系 (1)引入
连续傅里叶变换引出离散傅里叶变换定义式。
离散傅里叶变换看作是序列的傅里叶变换在频域再抽样后的变换对.
在Z变换与L变换中,又可了解到序列的傅里叶变换就是单位圆上的Z 变换.
所以对序列的傅里叶变换进行频域抽样时, 自然可以看作是对单位圆上的 Z变换进行抽样.
(2)推导
Z 变换的定义式(正变换) 重写如下:
取z=ejw 代入定义式, 得到单位圆上 Z 变换为
w是单位圆上各点的数字角频率.
再进行抽样-- N =2kπ/N, 即w值为0,2π/N,4π/N,6π/N…, 考虑到x(n)是N点有限长序列, 因而n只需0~N-1即可。将w=2kπ/N代入并改变上下限, 得
则这正是离散傅里叶变换(DFT)正变换定义式.
(3)结论1
从以上推导中可看出, 有限长序列 x(n) 的离散傅里叶变换 X(k) 序列的各点值等于对 x(n) 进行 Z 变换后在单位圆上 N 等分抽样的各点处所得的 Z 变换值, 即
这就是 Z 变换与 DFT 的关系.
(4)结论2
有限长序列补零加长 N增加, 求其DFT。
发现频谱包络不变,:即N补零加长并不改变有限长序列本身, 因而其 Z变换不变,而只是增加了N值。
根据
每个 X(k) 仍等于X0(ejw) ≤k≤N-1,X(k)值的个数增加了,谱线变密.
二、频率抽样理论 (频域抽样不失真条件) (1)问题引入
由 Z 变换与 DFT 的关系, 知道:
x(n) 的离散傅里叶变换 X(k) 序列值和 x(n) 的 Z 变换在单位圆 N 个等分点上的抽样值相等, 这就是说实现了频域的抽样。便于计算机计算而提出的.
是否任何一序列(或说任何一个频率特性) 都能用频域抽样的办法去逼近呢? 其限制条件是什么?
(2)分析
将x(n)的频域函数X(ejw),按每周期 N点抽样,得到一周期序列,再反变换回时域,得到变换结果,是一周期延拓的序列,且与原序列x(n) 有如下关系
即频域按每周期 N 点抽样, 时域便按 N 点周期延拓.
此结果符合频域抽样,时域周期延拓的说法.
(3)结论
长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件: 频域抽样点数N要大于或等于序列长度M, 即满足N≥
表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示.
(4)抽样后序列能否无失真恢复原时域信号
(5)注意点
DFT 变换对的一一对应关系也是由此而得到保证的.
实际上, 在我们从连续傅里叶变换引出 DFT 时, 也只有按此条件对频域进行抽样, 才能在最后正确导出 DFT 变换对定义式.