文档介绍：卷积
卷积(Convolution)方法的原理就是将信号分
解为冲激信号之和,借助系统的冲激响应,而求
解系统对任意激励信号的零状态响应。
设有两个函数和积分
τ f1 (t) f2 (t),
∞τ
f ()t = f1 f ()2 t −(dτ)
∫−∞
称为f (t)和f (t)的卷积积分,简称卷积,记为
()1 ()2 () () ()
f t = f1 t ⊗ f2 t 或 f (t) = f1 t ∗ f2 t
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卷积
τδ
∞τ
任意信号可表示为冲激序列之和 e()t = e ()t −(dτ)
e(t) ∫−∞
若把它作用于冲激响应为 h(t)的 LTIS,则响应为
∞
r(t) = H[]e()t = H ⎡τδe()t (− d )⎤
τ⎣⎢∫−∞τ⎦⎥
δτ
⎡()∞(τ) ⎤
= e H[]t −τd
⎣⎢∫−∞τ⎦⎥
∞τ
= e()(h t − dτ)
∫−∞
所以系统的零状态响应为:rzs (t)= e(t)⊗ h(t)= e(t)∗ h(t)
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卷积
由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性,卷积的积
.
※卷积的图形解释
(1)改换图形的横坐标,由t改为τ,
变成函数的自变量;
τ
(2)把其中的一个信号反褶;
(3)把反褶后的信号做位移,移位
量为t;
(4)两信号重叠部分相乘e(τ)h(t −τ) ;
(5)完成相乘后图形的积分。
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卷积
(1)积分上下限
积分限由f1 (t), f2 (t) 存在的区间决定,
即由f1 (τ) f2 (t −τ) ≠ 0 的范围决定。
上限取小,下限取大
(2)卷积结果区间上限下限
一般规律: f1 (t) [A,B]
f2 (t) [C,D]
g(t) [A+C,B+D]
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⎧1 t < 1 t
例: f1 (t) = ⎨, f2 (t) = , (0 ≤ t ≤ 3)
⎩0 t > 1 2
解: f ()τ
f1 (t) 1
1 1
t →τ
t τ
−1 0 1 −1 0 1
f2()t f2()t −τ
3
3/2 t →t−τ
2
t τ
0 3 t − 3 0 t
t :移动的距离
f 2 (t −τ)
f1 ()τ 3
t=0 f2(t-τ) 未移动
2
τ
t>0 f2(t-τ) 右移
−1 0 1 t − 3 t
t<0 f2(t-τ) 左移
t 从−∞到+ ∞,对应f2 (t −τ)从左向右移动
下限上限
f2 (t −τ) t-3 t-0
f1 (τ) -1 1
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t ≤-1
f2 ()t −τ f ()τ
1 1
τ
t − 3 t −1 0 1
t ≤−1
两波形没有公共处,二者乘积为0,即积分为0
f 1 (τ)⋅ f2 (t −τ)= 0
() () ()
g t = f 1 t ∗ f2 t = 0
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-1≤ t ≤1
f ()t −τ向右移 f2 (t −τ) f ()τ
2 1 1
τ
t − 3 −1 0 t 1
t > −1 时两波形有公共部分,积分开始不为0,
积分下限-1,上限t ,t 为移动时间;
t τ t 1
g(t) = f1 ( )⋅ f2 (t −)d = 1. .()t − d
∫−1 ∫−1
τ 2
τ 2 2 τ
⎛τ⎞ t t t 1
= ⎜−⎟= + +
⎜ 2 4 ⎟−1 4 2 4 τ
⎝⎠τ
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1≤ t ≤2
f (t −τ)
2 f ()τ
1 1
τ
t − 3 −1 0 1 t
⎧t − 3 ≤−1 即
⎨ 1 ≤ t ≤ 2
⎩ t ≥ 1
1 1 τ
g(t)= . .()t − dτ= t
∫−1 2
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2 ≤ t ≤ 4
f1()τ f2 (t −τ)
1
τ
−1 0 t − 3 1 t
⎧t − 3 ≥−1
⎨即2 ≤ t ≤ 4
⎩ t − 3 ≤ 1