文档介绍：第二章连续系统的时域分析
求响应: 经典法:已知f(t)、x{0}
全响应y(t)= yf(t)+yx(t)
卷积积分法:先求n(t),已知f(t)
yf(t)=h(t) f(t)
主要内容:
一经典法求LTI系统的响应:
齐次解自由响应瞬态零输入
特解强迫响应稳态(阶跃、周期) 零状态
二冲击响应与阶跃响应:(定义、求解方法仍为经典法)
三卷积积分:(定义、图示法求卷积)
四卷积积分的性质:
§ LTI系统的响应(经典法)
一常系数线性微分方程的经典解
n阶:y(t)+ an-1y(t)+…+ a1y(t)+ a0y(t)
= bm f (t)+ bm-1 f (t)+……+ b 1 f (t)+ b0f(t)
全解:y(t)=齐次解yh(t)+ 特解yp(t)
齐次解:yh(t)=(形式取决于特征根)
特征方程: (t)+ an-1(t)+…+ a1 (t)+ a0=0
特征根:决定齐次解的函数形式,表2-1
如为2个单实根1、2, yh(t)= +
如为2重根(+1)2=0,= - 1,yh(t)=C1te-t+C0e-t
系数Ci:求得全解后,由初始条件确定
特解:
函数形式:由激励的函数形式决定,与特征根有关系,表2-2
如:f(t)为常数, yp(t)=P0
f(t)=t2, yp(t)= P2t2+ P1t+ P0
f(t)=e-t,= - 2,不等 yp(t)=P e-t
f(t)= e-t,= - 1,相等 yp(t)=P1te-t+P0e-t
系数Pi:由原微分方程求出
全解:y(t)= yh(t)+ yp(t)=+ yp(t)
此时利用y(0),y‘(0),求出系数Ci
-1: y‘‘(t)+ 5y‘(t)+ 6y(t)= f(t) f(t)= 2e-t,y(0)= 2 y‘(0)= -1
解:(1) 齐次解: yh(t)= C1e-2t+C2e-3t
2+5+6 = 0,1= - 2,2= - 3
特解:yp(t)= e-t
设yp(t)= Pe-t
代入原方程:Pe-t+5(- Pe-t)+6 Pe-t = 2e-t P=1
全解:y(t)= C1e-2t+C2e-3t+ e-t
求Ci:y‘(t)= - 2 C1e-2t - 3C2e-3t - e-t
齐次解特解数学角度
y(t)= 3e-2t - 2C2e-3t + e-t t≥0
自由响应强迫响应系统角度
[P44]
-2: y‘’(t)+ 5y‘(t)+ 6y(t)= f(t) f(t)=10cost y(0)= 2 y‘(0)= 0
解: yh(t)= C1e-2t + C2e-3t
yp(t)= Pcost+Qsint=cost+sint=cos(t-)
yp‘‘(t)、yp‘(t)、yp(t)代入方程,求得P=Q=1
y(t)= C1e-2t + C2e-3t +cos(t-)
由初始条件可解得C1=2,C2 = - 1
y(t)=2e-2t - C2e-3t + cos(t-) t≥0
二关于0-和0+初始值
若f(t)在t=0时接入系统,方程的解适用t≥0
求解的初始条件:严格是指t=0+时刻的值,y(0+)、y‘(0+)…
已知系统初始状态:t=0-时,激励未接入,y(0-)、y‘(0-)…,反映系统的历史情况。
求解微分方程时,要先从yi(0-)yi(0+)
-3: y‘‘(t)+3y‘(t)+2y(t)=2 f‘(t)+6 f(t)
已知:f(t)=,y(0-)=2 ,y‘(0-)=0,
求: y(0+)、y‘(0+)
解:y‘‘(t)+3y‘(t)+2y (t)=2+6
y‘‘(t)dt + 3y‘(t)dt + 2y(t)dt
=2dt + 6dt
[y‘(0+)- y‘(0-)] + 3 [y(0+)- y(0-)] + 2×0 = 2×1 + 6×0
y(t)在t =0是连续的 y(0+)=y(0-)=2
y‘(t)在t =0是跃变的 y‘(0+)=y‘(0-)+2=2
结论:当方程右端含有及函数时,y(t)及各阶导数有些将发生跃变;
当方程右端不含有及函数时,y(t)及各阶导数一般不发生跃变,可直接等。
三零输入响应和零状态响应
y(t) = yx(t) + yf(t) = ++ yp(t)= + yp(t)
初始值: y(0-) = yx(0-) + yf(0-)
y(0+) = yx(0+) + yf(0+)
对零状态响应: yf(0-)=0 yx(0-)= y(0-