文档介绍：高等数学复****题
第一套
1. 计算极限
解:
2. 计算极限
解:令,则原极限化为,从而有
3. 计算极限
解:
4. 设数列收敛,但数列发散,则下列判断正确的是(B).
(A) 数列可能收敛(B) 数列一定发散
(C) 数列一定发散(D) 数列一定发散
5. 设,求.
解: 由复合函数求导法则,有
6. 设是由方程所确定的函数,求导数.
解:由隐函数求导法则,两边关于求导,得
从而
7. 设,求和
解:, 故有以及
.
8. 讨论函数在点的连续性和可导性.
解:,
所以函数在点连续。又
所以函数在点可导.
9. 设,求.
解:
10. 求函数的间断点,并指出间断点的类型.
解: 由于, 所以有间断点.
其中是第一类(可去)间断点,而是第二类(无穷)间断点.
11. 设函数. (1) 求的单调区间和极值;
(2)求曲线的凹凸区间和拐点。
解: (1),所以的单调增区间是和,
而单调减区间是. 是极大值,是极小值。
(2) , 所以当时是凹函数,当时是凸函数;
即凹区间是,凸区间是; 是拐点。
12. 证明不等式.
证明:令
.显然当时,,
故函数在时是增函数,.
从而原不等式成立。
13. 求不定积分.
解:
14. 求不定积分.
解: 用分部积分
15. 设,求.
解: 由于定积分为一常数,故可设. 则.
两边从-1到1积分, 得
,
从而. 所以.
16. 计算定积分.
解:(1)
(2)
17. 求曲线与直线所围成的图形的面积。
解:所求面积为
18. 微分方程的通解是
解:由通解公式,, 故有
第二套
1. 计算极限
解:(1) 令, 则有.
有
所以
(2)
:
解:
3. (1)讨论函数的连续性,若有间断点,判别其类型.
(2)求曲线的渐近线.
解: (1) 使的分母为零,是函数的间断点; 使为零,是函数的另一个间断点; 由于, 而;.
(2) 由于, 所以曲线有一条铅直渐近线是;
另外,,所以曲线有一条水平渐近线是.
4. 设可导,, 求.
解:由复合函数求导法则, 有
5. 设,求和.
解:这是由参数方程确定的函数的导数, 有
从而, . 所以
,
6. 设, 求导数.
解:, 所以,
因此
7. 设,求和.
解:
8. 设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,且. 证明存在一点,使得
解:设函数, 则函数在闭区间上连续,在开区间上可导,并且。由罗尔定理,存在一点, 使,
即.
9. 求函数的间断点,并指出间断点的类型.
解. 是第二类无穷间断点;
另外, ,
所以是第一类跳跃间断点.
10. 求曲线在点处的切线方程和法线方程.
解:方程两边关于求导,得,即.
曲线在处的切线的斜率为,从而法线斜率为. 因此,
切线方程为,即;法线方程为,即.
11. 证明方程在区间内恰有两个实根.
证明: 令, 则,从而在上单调递减,在上单调递增,但是,并且,从而在区间内恰有两个实根,其中一个在中,一个在中.
12. 求不定积分
解:
13. 求不定积分
解:
14. 计算反常积分.
解:
15. 计算定积分:(1); (2).
解:(1)
(2)
16. 证明:
证明:令,则,从而
但是定积分与积分变量无关,从而等式成立.
17. 设曲线与此曲线在点处的切线及直线所围的区域为. (1) 求的面积;(2) 求绕轴旋转一周而成的旋转体的体积.
解:, , 从而曲线在点处的切线方程为. 从而
(1) 的面积为
(2) 绕轴旋转一周而成的旋转体的体积为
18. 求微分方程的通解及满足条件的特解.
解:这是可分离变量的方程. 分离变量后积分得, 也即.
显然,满足条件的特解是.
第三套
1. 计算极限.
解: 注意到当时,与是等价无穷小,而与是等价无穷小,所以
, 这里最后一步又用到与是等价无穷小.
2. 计算极限
解:利用洛必达法则,注意到分子是变上限积分函数,有
3. 计算极限
解:
4. 设具有连续导数,且满足方程, 求.
解: 方程两端对求导,有,即,也就是,所以满足.
从而. 但是注意到, 容易知道. 故.
5. 设, 求.
解:, 所以
有
6. 设, 求微分.
解:
7. 设, 求.
解: , , ,,, 所以
8. 设, 求和, 并讨论在处的连续性.
解:
当时,
容易看到, 所以在处是连续的.
9. 设函数