文档介绍：引言
为了研究行数、列数较高的矩阵,常常对矩阵采用分块的方法。类似于集合的划分,是把矩阵完全地分成一些互不相交的子矩阵,使得原矩阵的每一个元落到一个分快的子矩阵中。以这些子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。线形代数以其独特的理论体系和解题技巧而引人入胜。在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,,证明矩阵的秩等。
第一章矩阵的分块和分块矩阵的定义
设A是数域K上的矩阵,B是K上矩阵,将A的行分割r段,每段分别包含个行,又将A的列分割为s段,每段包含个列。A=
于是A可用小块矩阵表示如下:,
其中是矩阵。对B做类似的分割,只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一样。于是B可以表示为
B=
其中是的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。
设为同型矩阵(行和列数分别相等)。
若采用相同的分块法。
A= B=
则可以直接相加
乘法:设,则C有如下分块形式:
C=,
其中
是矩阵,且
定义称数域K上的分块形式的n阶方阵A=
为准对角矩阵,其中为阶方阵(),其余位置全是小块零矩阵。
2、分块矩阵的一些简单基本性质
命题阶准对角矩阵有如下性质:
(1)、对于两个同类型的n阶准对角矩阵(其中同为阶方阵), A= B=,有;
AB=
(2)、;
(3)、A可逆等价于可逆,且。
第二章利用分块矩阵计算行列式
1 引理设矩阵
H=或H=
其中A1,A2,…,As是实矩阵,且均为方阵,则|H|=|A1||A2|…|As|
2 利用分块矩阵计算行列式设A、=
2·1 矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算
命题1 设A、:
(1)当A可逆时,有=
(2)当B可逆时,有=
证(1)根据分块矩阵的乘法,有
由引理知,两边取行列式即得(1).
(2)根据分块矩阵的乘法,有
两边取行列式即得(2).
注意:利用命题1解题时,要注意条件:矩阵A或B可逆.
推论1 设A,B,C,D分别是m,n,n×m和m×
(1) (3)
(2) |A-DC|. (4)
证明只需要在命题1的(1)中令A=Em,即得(3);在(2)中令B=En,即得(4).
推论2 C,D分别是n×m和m×n矩阵.
证明: (5)
证明:证明在推论1的(3)中,令B=En,在(4)中,令A=Em,即得(5).
例1 计算下面2n阶行列式
||= (a≠0)
解令A=,B=,C=,D=
≠0,故A为可逆方阵.
又易知
从而由命题1中(1)得
||=
例2 计算行列式
(1) ,(ai≠0,i=1,2,…,n);
(2)
解(1)设Q=,其中A=(),
B=, C= ,
D= 因为ai≠0,i=1,2,…,n,所以B是可逆矩阵.
又易知
从而由命题1中的(2)得
= .=
(2)设其中B=(c),C=,D=
由于 CD==
从而由推论1知, Q=
矩阵A=B,C=D时行列式|H|的计算
命题2 设A,
证根据行列式的性质和引理,有
==
例3 计算行列式.
D=
解这道题看似简单,但如果方法选择不佳,
由命题2知
D===
= (X+Y+Z)(-X+Y-Z) (X+Y-Z)(-X+Y+Z)
当A与C或者B与C可交换时行列式|H|的计算
命题3 设A,B,C,D都是n阶方阵.
(1)如果AC=CA,则==
(2)如果BC=CB,则=
例4 计算例2所给的2n阶行列式.
解设A,C如例2,则| =
而AC=CA,由命题3知:
==
注意:①这里并不需要a≠0的条件.
②在利用命题3计算高阶行列式时,如果A和C(或B和C)有一个是n阶单位矩阵或者是n阶数量矩阵时,那么计算方法会更简便.
3 矩阵H被分成两个特殊矩阵的和时计算行列式|H|
命题4 设A为n阶可逆方阵,=
证因为
(7)
(8)
由引理,(7)和(8)两边各取行列式,并由于
故由(7)和(8)得==
即=
注意:在利用这个命题计算n阶行列式时,需要根据具体情况,把原行列式的元素组成的矩阵分成两项,其中一项是n阶可逆矩阵A,该矩阵一般选为对角矩阵,则其行列式和逆矩阵比较容易求出;另一项是n维列向量α与