文档介绍：第十九章四边形
知识网络结构图
专题总结及应用
知识性专题
专题1 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质
【专题解读】围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质进行命题.
例1 下列说法错误的是( )
分析由平行四边形、矩形、等腰梯形的性质可以发现A,B,,对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,还可能是正方形或等腰梯形.
答案:D
【解题策略】对角线互相垂直的四边形不一定对角线互相平分.
例2 如图19-125所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,E为BC的中点,设△DEA的面积为,梯形ABCD的面积为,则与的关系为.
分析由E为BC的中点,延长DE与AB的延长线交于点F,由CD∥AB,得,又因为所以△CED≌△BEF,所以DE=EF,所以S菱形ABCD= S△,得= S△
AFE=,即或.
答案:(或)
【解题策略】根据三角形面积公式,当同底三角形的高相等式相同时,可以考虑由底的关系确定三角形的面积之间的关系.
例3如图19-126所示,ABCD是正方形,G是BC上一点,于点E,于点F.
(1)求证△ABF≌△DAE;
(2)求证.
分析(1)根据正方形的性质证明全等的条件.(2)由全等和,则问题可证.
证明:(1)在正方形ABCD中,
∴.
∵∴,∴.
又∵∴∴△ABF≌△DAE(AAS).
(2)由(1)可知△ABF≌△DAE,∴
∴即.
专题2 平行四边形(含特殊的平行四边形)的判定与性质之间的区别与联系
【专题解读】围绕平行四边形(含特殊的平行四边形)的判定与性质综合应用命题.
例4 如图19-127所示,将一张矩形纸片ABCD沿着GF折叠(F在BC边上,不与B,C重合),使得C点落在矩形ABCD的内部点E处,FH平分,则的度数a满足( )
°<a<180°
=90°
°<a<90°
△GCF≌△GEF得,又有,所以所以.
答案:B
例5 如果菱形的一条对角线长是12㎝,面积是30,那么这个菱形的另一条对角线长为㎝.
分析由于菱形的对角线互相垂直,所以菱形的面积可以用两条对角线乘积的一半表示,故另一条对角线的长为
(㎝).
答案:5
例6 如图19-128所示,的周长为16㎝,AC,BD相交于点O,,交AD于点E,则的△DCE周长为( )
㎝ ㎝
㎝ ㎝
分析因为的周长为16㎝,所以(㎝),因为O为AC的中点,又因为于点O,所以,所以△DCE的周长为(㎝).
答案:C
二、规律方法专题
专题3 构造中位线解决线段的倍分关系
【专题解读】题目中涉及或2倍关系时,常常考虑构造中位线.
例7 四边形ABCD为平行四边形,∥AC,DE交AC的延长线于F点,交BE于E点.
(1)求证
(2)若求BE的长;
(3)在(2)的条件下,求四边形ABED的面积.
证明:(1)如图19-129所示,延长DC交BE于点M,
∵BE∥AC,AB∥DC,
∴四边形ABMC是平行四边形.
∴∴C为DM的中点.
∵BE∥AC,∴CF是△DME的中位线,∴.
解:(2)由(1)得CF是△DME的中位线,故.
又∵∴.
∵四边形ABMC是平行四边形,∴.
∴.
又∵,
∴在Rt△ADC中,利用勾股定理得.∴.
(3)可将四边形ABED的面积分为梯形ABMD和三角形DME两部分.
在Rt△ADC中利用勾股定理得.
由CF为△DME的中位线得.
∴.
由四边形ABMC是平行四边形得.
∴梯形ABMD的面积为.
由和BE∥AC,得三角形DME是直角三角形,
其面积为,
∴四边形ABED的面积为.
专题4 构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题
【专题解读】利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.
例8 如图19-130所示,在中,是DC的中点,E是垂足,求证.
分析添加辅助线MN,,,又由四边形BCMN是菱形,证得,从而结论得证.
证明:取AB的中点N,连接MN,.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以ABDC.
又M,N分别是DC,AB的中点,
所以DMAN,MCNB,
即四边形ANMD和四边形MNBC都是平行四边形.
所