文档介绍：高中文科数学平面向量知识点整理
概念
向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于个单位的向量.
平行向量(共线向量):.
相等向量:长度相等且方向相同的向量.
相反向量:a=-bb=-aa+b=0
向量表示:几何表示法;字母a表示;坐标表示:a=xi+yj=(x,y).向量的模:设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:.
( 。)
零向量:长度为的向量。a=O|a|=O.
【例题】:(1)若,则。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若,则是平行四边形。(4)若是平行四边形,则。(5)若,则。(6)若,则。其中正确的是_______
(答:(4)(5))
,它们的夹角为,那么=_____
(答:);
2、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
⑶三角形不等式:.
⑷运算性质:①交换律:;②结合律:;
③.
⑸坐标运算:设,,则.
3、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设,,则.
设、两点的坐标分别为,,则.
【例题】
(1)①___;②____;
③_____ (答:①;②;③);
(2)若正方形的边长为1,,则=_____
(答:);
(3)已知作用在点的三个力,则合力的终点坐标是
(答:(9,1))
4、向量数乘运算:
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.
①;
②当时,的方向与的方向相同;
当时,的方向与的方向相反;当时,.
⑵运算律:①;②;③.
⑶坐标运算:设,则.
【例题】(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且,则点P的坐标为_______
(答:);
5、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,,,()。
【例题】(1)若向量,当=_____时与共线且方向相同
(答:2);
(2)已知,,,且,则x=______
(答:4);
6、向量垂直:.
【例题】(1)已知,若,则
(答:);
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,,则点B的坐标是________
(答:(1,3)或(3,-1));
(3)已知向量,且,则的坐标是________
(答:)
7、平面向量的数量积:
⑴.零向量与任一向量的数量积为.
⑵性质:设和都是非零向量,则①.②当与同向时,;当与反向时,;或.③.
⑶运算律:①;②;③.
⑷坐标运算:设两个非零向量,,则.
若,则,或.
设,,则a⊥ba·b=0x1x2+y1y 2=0.
则a∥ba=λb(b≠0)x1y2= x2y1.
设、都是非零向量,,,是与的夹角,则;(注)
【例题】
(1)△ABC中,,,,则_________
(答:-9);
(2)已知,与的夹角为,则等于____ (答:1);
(3)已知,则等于____ (答:);
(4)已知是两个非零向量,且,则的夹角为____