文档介绍：数学期望
数学期望的定义
数学期望就是一个随机变量的期望值或简称期望。
离散随机变量的期望定义:
E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn)
=xjP(X=xj)
= xjf(xj)
如果随机变量取值概率都是相等的,那么我们就可
以得到一个特殊的期望,算术平均:
E(X)=(x1+x2+…+xn)/n
对于连续随机变量的数学期望:
随机变量的函数
如果X是具有概率函数f(x)的离散随机变量,那么
Y=g(X)也是离散随机变量,且Y的概率函数为
Y为连续随机变量的数学期望为:
期望的若干定理
定理一:
若c是任一参数,则E(cX)=cE(X)
定理二:
若X和Y是任何随机变量,则
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
定理三:
若X和Y是独立的随机变量,则
E(XY)=E(X)E(Y)
方差和标准差
方差的定义:
Var(X)=E((x-)2),为期望或称为均值。
方差的正的平方根为标准差
连续随机变量的方差为
方差(或标准差)是随机变量的值关于均值偏离或散布的测度。若随机变量的值趋向集中于均值附近,则方差就小;而若这些值趋向远离均值的地方,则方差就大。
方差的若干定理
定理一:2=E((x-)2)=E(X2)-2=E(X2)-
[E(X)]2
定理二:若c是任一常数,Var(cX)=c2Var(X)
定理三:当a==E(X)时,E((x-a)2)是最小值
定理四:若X和Y是独立随机变量,则
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)
标准化随机变量
令X是带均值和标准差的随机变量,则我
们用下式定义标准化的随机变量
X*=(X-)/
X*的一个重要性质是均值为0且方差为1,标
准化的变量对比较不同分布是有好处的。