文档介绍：第五章相似矩阵及二次型
一、是非题(正确打√,错误打×)
. (√)
2. 若向量组两两正交,则线性无关. (√)
(列)向量构成向量空间的一个规范正交基. (√)
,则也是正交阵. (√)
, ,则. (√)
,则是的一个特征值. (×)
,反之亦成立. (×)
. (×)
9. 矩阵有零特征值的充要条件是. (√)
,则是的特征值(其中是的多项式). (√)
, 和为对应特征向量,则也是的特征向量. (×)
12. 与的特征值相同. (√)
. (×)
,使n阶矩阵,满足: ,则与
有相同的特征值. (√)
,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. (√)
,均与对角阵相似且有相同的特征值,则与相似. (√)
. (√)
18. 若线性无关且都是的特征向量,则将它们先正交化,再单位化后仍为的特征向量. (√)
19.    实对称阵与对角阵相似:,这里必须是正交阵。     (×)
,为维列向量,如果不对称,则不是二次型. (×)
。(√)
. (×)
,总有正交变换,使化为规范型。(×)
二、填空题
,求两向量=____,=____,使两两正交.
Ans: ,
,即,则_____. Ans:1或-1
,则的特征值为________.(-1,2,3)
=的特征值为,则___________,
_____________.
,3, ,若行列式,则.(-1)
-1,1,2,则_____,
______. Ans:-15,9
7. 已知的伴随矩阵有一特征值为,则-1或2 .
8. 若二阶矩阵的特征值为和,则= E .
=___时,矩阵能对角化.(-1,见教材)
, ,是线性无关的二维列向量, ,
,则的非零特征值为_______.
提示:由知与相似, 非零特征值为1.
11、设为正交矩阵, 为阵的特征值,则_____0___.
12、设3阶方阵的特征值为互不相同,若则的秩为_____.(2)
13.    (3分) 二次型经过正交变换可化为标准型, 则=_____.(=2)
;
二次型的秩为,则.
,的取值为_____时为正定, 的取值为_____时为负定. ()
16. 二次型经过正交变换______化
为标准形_______,从而表示的曲面类型是_________.
Ans: ,,椭球面
选择题
1. 若阶非奇异矩阵的各行元素之和均为常数,则矩阵有一特征值为( C ).