文档介绍：二元一次不等式(组)与平面区域
第1课时
【教学目标】
:了解二元一次不等式的几何意义,会用二元一次不等式组表示平面区域;
:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力;
:通过本节课的学习,体会数学来源与生活,提高数学学习兴趣。
【教学重点】
用二元一次不等式(组)表示平面区域;
【教学过程】
讲授新课
.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形
(1)回忆、思考
回忆:初中一元一次不等式(组)的解集所表示的图形——数轴上的区间
思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形?
(2)探究
从特殊到一般:
先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。
如图:在平面直角坐标系内,x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类:
第一类:在直线x-y=6上的点;
第二类:在直线x-y=6左上方的区域内的点;
第三类:在直线x-y=6右下方的区域内的点。
设点是直线x-y=6上的点,选取点,使它的坐标满足不等式x-y<6,请同学们完成课本第93页的表格,
横坐标x
-3
-2
-1
0
1
2
3
点P的纵坐标
点A的纵坐标
并思考:
当点A与点P有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系?
根据此说说,直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系?
直线x-y=6右下方点的坐标呢?
学生思考、讨论、交流,达成共识:
在平面直角坐标系中,以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方;反过来,直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。
因此,在平面直角坐标系中,不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域;如图。
类似的:二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域;如图。
直线叫做这两个区域的边界
由特殊例子推广到一般情况:
(3)结论:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(),把它的坐标()代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时,常把原点作为此特殊点)
【应用举例】
例1 画出不等式表示的平面区域。
解:先画直线(画成虚线).
取原点(0,0),代入+4y-4,∵0+4×0-4=-4<0,
∴原点在表示的平面区域内,不等式表示的区域如图:
归纳:画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法。特殊地,当时,常把原点作为此特殊点。
变式1、画出不等式所表示的平面区域。
变式2、画出不等式所表示的平面区域。
例2 画出不等式2x+y-6>0表示的平面区域.
解:先画直线2x+y-6=0(虚线),把原点(0,0)代入2x+y-6,得0-6<+y-6<0,说明原点不在要求的区域内,不等式2x+y-6>0表示的平面区域与原点在直线2x+y-6=0的异侧,即直线2x+y-6=0的右上部分的平面区域.
学生课堂练习.
(1)x-y+1<0.
(2)2x+3y-6>0.
(3)2x+5y-10≥0.
(4)4x-3y≤12.
例3 。
分析:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
解:不等式表示直线右下方的区域,表示直线右上方的区域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳:不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
变式1、画出不等式表示的平面区域。
变式2、由直线,和围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为。
例4 画出不等式组表示的平面区域.
x+3y+6≥0表示直线上及其右上方的点的集合.
x-y+2<0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合.
在确定这两个点集的交集时,要特别注意其边界线是实线还是虚线,还有两直线的交点处是实点还是空点.
例5 画出不等式组表示的平面区域.
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
解:不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0右上方的平面区域,x+y≥0表示直线x+y=