文档介绍：平面向量的数量积及运算律(1)
教学目的:
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、角度和垂直的问题;
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教学重点:平面向量的数量积定义
教学难点:平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型:新授课
教学过程:
一、引入:
力做的功:W = |F|×|s|cosq,q是F与s的夹角
二、讲解新课:
已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
说明:(1)当θ=0时,a与b同向;
(2)当θ=π时,a与b反向;
(3)当θ=时,a与b垂直,记a⊥b;
(4)注意在两向量的夹角定义中,°≤q≤180°
(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积,记作a×b,即有a×b = |a||b|cosq,
(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0。
×探究:两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cosq的符号所决定。
(2)两个向量的数量积称为内积,写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b,而a×b是两个向量的数量的积,书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
(3)在实数中,若a¹0,且a×b=0,则b=0;但是在数量积中,若a¹0,且a×b=0,不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0。
(4)已知实数a、b、c(b¹0),则ab=bc Þ a=c。但是a×b = b×c a = c
如右图:a×b = |a||b|cosb = |b||OA|,b×c = |b||c|cosa = |b||OA|
Þ a×b = b×c 但a ¹ c
(5)在实数中,有(a×b)c = a(b×c),但是(a×b)c ¹ a(b×c)
显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线。
3.“投影”的概念:作图
定义:|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。
投影也是一个数量,不是向量;当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q = 0°时投影为|b|;当q = 180°时投影为-|b|。
:
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。
:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。
1° e×a = a×e =|a|cosq
2° a^b Û a×b = 0
3° 当a与b同向时,a×b = |a||b|;当a与b反向时,a×b = -|a||b|。
特例:a×a = |a|2或
4° cosq =
5° |a×b| ≤|a||b|
三、讲解范例:
例1 判断正误,并简要说明理由.
①a·0=0;②0·a=0;③0-=;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;