文档介绍：:(2)反函数的综合问题
教学目标
(1)在掌握反函数概念的基础上,初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数,会利用反函数解决相关综合问题。
(2)培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力;
(3)通过函数及其反函数图像特征的主动探索,初步学会自主地学****独立地探究问题;掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法.
教学重点及难点
较复杂的函数的反函数的求法及其应用
教学过程
一、复****引入:
1、反函数的定义;求反函数的一般步骤分:一解、二换、三注明
2、互为反函数的两个函数图像有什么关系:函数与的图象关于直线对称.
3、反函数的定义域由原函数的值域得到,而不能由反函数的解析式得到
4、函数、、、间的关系:
与、与互为反函数;
与、与为同一函数。
二、例题讲解:
例1、求函数y=(x≥0,x≠1)的反函数.
解:⑴由原函数变形为y-y=1+,即=(y-1)/(y+1)--①,
∵≥0,∴(y-1)/(y+1)≥0,解得y<-1或y≥1,
⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)],
⑶∴原函数的反函数是= [(x-1)/(x+1)](x<-1或x≥1);
说明:原函数的值域是借助于变形中的①式:≥0而得到的,对于一个比较复杂的函数,求它的值域时要注意题目中的现有条件.
例2、设函数y==,求它的反函数.
分析:这里给出了分段函数,即在不同的x范围内有不同的表达式,因此,也应在不同的x范围内求其反函数.
解:⑴当x<0时,y=x,其反函数仍是y=x(x<0);
⑵当x≥0时,y=,由y= (x≥0)得x=,又y= (x≥0)的值域为y≥0,∴y= (x≥0)的反函数是y=(x≥0).
⑶由⑴⑵可得=.
例3、若有反函数且它的反函数就是本身,求应满足的条件.
解:由,,知.
所以函数的反函数为.
由于函数的反函数就是函数本身,即有,且.
于是,解得,或,为任意实数.
教师点拨:提出两个问题:①什么样的一次函数,它的反函数正好是它本身?②除了一次函数外,是否还存在其它函数,满足反函数就是它本身?(等)
例4、已知函数的反函数是(x∈R,x≠2),求a,b,c的值.
解:⑴由(x≠2)解出x=,
∵原函数的值域是y≠3,
∴(x≠2)的反函数是(x≠3,x∈R).
⑵由互为反函数的函数关系知,与是同一函数,∴a=2,b=1,c=-3.
例5、若点A(1,2)既在函数=的图象上,又在的反函数的图象上,求a,b的值.
分析:求a,b,就要有两个关于a,b的方程,如何寻求?
①A(1,2)在图象上,这是很容易看出来的.
②如何用它也在的反函数的图象上呢?
其一,真求反函数,再把A(1,2)代入. 能不能不求反函数?
其二,A(1,2)在反函数图象上,则(2,1)就应在原函数的图象上,即(a,b)满足y=,则(b,a)应满足y=,反之亦然.
解:由A(1,2)在=上,则有--①;
由A(1,2)在其反函数图象上,可知(2,1)也在函数=图象上