文档介绍：平面向量数量积的坐标表示(1)
教学目的:
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件,及平面内两点间的距离公式。
⑶能用所学知识解决有关综合问题。
教学重点:平面向量数量积的坐标表示
教学难点:平面向量数量积的坐标表示的综合运用
教学过程:
一、复习引入:
已知非零向量a与b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
C
(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积,记作a×b,即有a×b = |a||b|cosq,
(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0。
:
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。
:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。
1)e×a = a×e =|a|cosq;2)a^b Û a×b = 0
3)当a与b同向时,a×b = |a||b|;当a与b反向时,a×b = -|a||b|。
特别的a×a = |a|2或
4)cosq = ;5)|a×b| ≤|a||b|
5. 平面向量数量积的运算律
交换律:a × b = b × a
数乘结合律:(a)×b =(a×b) = a×(b)
分配律:(a + b)×c = a×c + b×c
二、讲解新课:
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量,,试用和的坐标表示。
设是轴上的单位向量,是轴上的单位向量,那么
,
所以
又,,
所以
这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
即
(1)设,则或。
(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式)
设,,则
()
cosq =
三、讲解范例:
例1 设a = (5, -7),b = (-6, -4),求a×b
例2 已知a=(-3,-2),b=(-4,k),若(5a-b)·(b-3a)=-55,试求k的值.
例3已知A(1, 2),B(2, 3),C(-2, 5),求证:△ABC是直角三角形。
例4 已知a = (3, -1),b = (1, 2),求满足x×a = 9与x×b = -4的向量x。
例5 已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b的夹角是多少?
例6
四、课堂练习:
=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b=( )
(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为( )
=(4,3),向量b是垂直a的单位向量,则b等于( )
反思:
已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使(xa+yb)⊥a,且|xa+yb|=1.
分析:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想.
解:由a=(3,4),b=(4,3)