文档介绍：§ 等差数列及其前n项和
最新考纲
考情考向分析
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,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
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以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主,、填空的形式进行考查,、数列求和、不等式等问题综合考查.
从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数,我们称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母d表示.
若首项是a1,公差是d,则这个等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列.
(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=na1+d.
Sn=n2+n.
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;
若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
知识拓展
等差数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N+)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.
题组一思考辨析
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √)
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.( √)
(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N+,都有2an+1=an+an+2.( √)
(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.( √)
题组二教材改编
{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
答案 B
解析由已知可得解得
∴S8=8a1+d=32.
{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________.
答案 180
解析由等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.
题组三易错自纠
,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
> <
C.<d< D.<d≤
答案 D
解析由题意可得即
所以<d≤.故选D.
{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.
答案 8
解析因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>+a10=a8+a9<0,所以a9<=8时,其前n项和最大.
960 m的高空降落, m, m,那么经过________秒落到地面.
答案 20
解析设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中,,.
+t(t-1)×=1 960,
=1 960,解得t=20.
题型一等差数