文档介绍：不等式
一、知识点:
1. 实数的性质:
;;.
2. 不等式的性质:
性质
内容
对称性
,.
传递性
且.
加法性质
;且.
乘法性质
;,且.
乘方、开方性质
;.
倒数性质
.
3. 常用基本不等式:
条件
结论
等号成立的条件
,,
基本不等式:
常见变式: ;
:
命题1:已知a,b都是正数,若ab是实值P,则当a=b=时,和a+b有最小值2.
命题2:已知a,b都是正数,若a+b是实值S,则当a=b=时,积ab有最大值.
注意:运用重要不等式求值时,要注意三个条件:一“正”二“定”三“等”,即各项均为正数,和或积为定值,取最值时等号能成立,以上三个条件缺一不可.
:设a>0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根,且x1≤x2,则有
△
△>0
△=0
△<0
图象
ax2+bx+c=0的解
x=x1或x=x2
x=x1=x2=-b/2a
无实数解
ax2+bx+c>0解集
{x︱x<x1或x>x2}
{x︱x≠x1 }
R
ax2+bx+c<0解集
{x︱x1<x<x2}
Φ
Φ
结论:ax2+bx+c>0;ax2+bx+c<0
6. 绝对值不等式
(1)|x|<a(a>0)的解集为:{x|-a<x<a};
|x|>a(a>0)的解集为:{x|x>a或x<-a}。
(2)
7. 不等式证明方法:
基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法
辅助方法:换元法(三角换元、均值换元等)、放缩法、构造法、判别式法
特别提醒:不等式的证明,方法灵活多样,,常渗透不等式证明的内容,最常用的思路是
用分析法探求证明途径,再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。
例:解下列不等式:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解:(1),可得原不等式的解集是.
(2)不等式两边同乘以,原不等式可化为.
方程的解为.
根据的图象,可得原不等式的解集是.
(3)方程有两个相同的解.
根据的图象,可得原不等式的解集为.
(4)因为,所以方程无实数解,根据的图象,可得原不等式的解集为.
练****1. (1)解不等式;(若改为呢?)
(2)解不等式;
解:(1)原不等式
(该题后的答案:).
(2)即.
8、线性规划问题的解题方法和步骤
解决简单线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时,直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下:
(1)设出未知数,确定目标函数。
(2)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域。
(3)由目标函数z=ax+by变形为y=-x+,所以,求z的最值可看成是求直线y=-x+在y轴上截距的最值(其中a、b是常数,z随x,y的变化而变化)。
(4)作平行线:将直线ax+by=0平移(即作ax+by=0的平行线),使直线与可行域有交点,且观察在可行域中使最大(或最小)时所经过的点,求出该点的坐标。
(5)求出最优解:将(4)中求出的坐标代入目标函数,从而求出z的最大(或最小)值。
9、在平面直角坐标系中,已知直线,坐标平面内的点.
①若,,则点在直线的上方.
②若,,则点在直线的下方.
10、在平面直角坐标系中,已知直线.
①若,则表示直线上方的区域;表示直线下方的区域.
②若,则表示直线下方的区域;表示直线上方的区域.
11、最值定理
设、都为正数,则有
⑴若(和为定值),则当时,积取得最大值.
⑵若(积为定值),则当时,和取得最小值.
即:“积定,和有最小值;和定,积有最大值”
注意:一正、二定、三相等
几种常见解不等式的解法
重难点归纳
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求,随着高考命题原则向能力立意的进一步转化,对解不等式的考查将会更是热点,解不等式需要注意下面几个问题
(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法
(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式,特别要注意因式的处理方法
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式,指数和对数不等式的几种基本类型的解法
(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法
(5)在解不等式的过程中,要充分运用自己的分析能力,把原不等式等价地转化为易解的不等式
(6)对于含字母的不等式,要能按照正确的分类标准,进行分类讨论
典型题例示范讲解
例1:如果多项式可分解为个一次式