文档介绍：《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课,是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程,它将为进行下一步的专业课程学****提供基础的数学处理工具。所以,本课程受到物理系学生和老师的重视。 对一个物理问题的处理,通常需要三个步骤:一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题;二、解该数学问题;三、将所得的数学结果翻译成物理,即讨论所得结果的物理意义。因此,物理是以数学为语言的,而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题,并掌握求解定解问题的多种方法,如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
数学物理方法的主要内容
第一部分:复变函数论及其应用
第一章复变函数
第二章复变函数的积分
第三章幂级数展开
第四章留数定理及其应用
第五章拉普拉斯变换
第六章傅立叶展开
第二部分数学物理方程及特殊函数论
第七章数学物理方程的定解问题
第八章分离变量法
第九章傅立叶积分法
第十章线性常微分方程的级数解法
第十一章球函数
第十二章柱函数
第一章复变函数
§ 复数
§ 复变函数
§ 解析函数
§ 多值函数
§ 平面向量场复势
数的扩张(完善化)
§ 复数
加法运算:在自然数域N中进行. 逆运算(减)出现了零和负数. 自然数域扩大到整数域Z.
乘法运算:在整数域Z中进行. 逆运算(除) 出现了分数(有限小数和无限循环小数),整数域扩大到有理数域Q。
乘方运算:在有理数域中进行. 逆运算(开方) 出现无理数(无限不循环小数)和纯虚数。
比乘方的开方逆运算更复杂的逆运算,如解一元二次方程,将出现复数, 数域扩大到复数域。
复数:
(a, b为实数)
-虚单位
显然:
一、复数的表示法
1、平面坐标系中
x轴为实轴,单位为1;y轴为虚轴,单位为i. 代数式:z=x+iy. x为z的实部,记为Rez,y为z的虚部,记为Imz. 显然,一个复数与复平面上一个点有着一一对应的关系。
2、极坐标中
x轴为极轴,x、y看成矢量z的直角分量,矢量长度为r,与极轴正方向的夹角为.
三角式:
根据欧拉关系:
指数式
欧拉关系也可写成
矢量z的长度r称为复数z的模,记为|z|.
矢量z与极轴正方向的夹角称为复数的幅角,记为Argz. 对于同一矢量z,其幅角可以相差2k,通常规定- < 为复数z幅角的主值,记为argz,也有的规定0< 2 为幅角主值。
注意:若规定
在第一、四象限内,
在第二象限内,
在第三象限内,
讨论:
1、复数相等. 两复数的实部、虚部都相等. 复数不能比较大小. 2、复数共轭.
其共轭复数:
显然,共轭点关于实轴为对称。
3、复数主值
当k=0时,
复数主值
4、复数特例
当Rez=x0时,复数z=x+iy退化为纯虚数;而当Imz=y0时,
复数退化为实数。
二、复数的运算及其几何意义
1、加法和减法
z1和z2的加法为平行四边法则得到的矢量z1+z2. 如图(a)
z1和z2的减法为三角形作图法得到的矢量z1-z2,如图(b).
|z1|和|z2|分别表示z1和z2矢量的长度,|z1+z2|、|z1-z2|分别代表矢量z1+z2、z1-z2的模. 根据三角形的两边之和大于(等于)第三边,两边之差小于(等于)第三边:
从图(b)中,可以发现
|z1-z2|或|z2-z1|为平面上z1、z2两点的距离. 因此,复平面上满足|z-z1|=|z-z2|的z点轨道是z1、z2两点连线的垂直平分线,该直线上所有的点到z1、z2两点的距离相等。