文档介绍：题目级数敛散性的判别
学生姓名学号
所在学院数学与计算机科学学院
专业班级数教1101班
指导教师
完成地点陕西理工学院
2015年06月08日
级数敛散性的判别
(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西汉中)
指导老师:
[摘要] 敛散性是级数的一个最重要的性质,本文主要对数项级数和函数项级数的一致收敛性的各种判别法进
行总结归纳和应用,如柯西判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法,莱布尼茨判别法、达朗贝尔判别法、魏
尔斯特拉斯判别法等等,它也为数学分析的后续学习奠定重要基础.
[关键词] 级数;正项级数;敛散性;一致收敛
(公元前4世纪)就知道公比小于1大于0的几何级数具有和数,(14世纪)就通过见于现代教科书中的方法证明了调和级数发散到+∞.但是结合着几何量明确到一般级数的和这个概念,进一步脱离几何表示而达到级数和的纯算术概念,以及更进一步把级数运算视为一种独立的算术运算并正式使用收敛和发散两词,,从古希腊以来,积分的朴素思想用于求积问题时,. 级数相关定理应用十分广泛,近10年来,我国关于级数敛散性等问题的研究比较细致和深入,虽然级数敛散性的判别方法已有很多,但是对于有些级数的敛散性判别还是没有具体的方法可循,这需要人们对级数敛散性的判别做进一步研究.
,我们要把数项级数与函数级数全面考虑在内,这样才能整体性地掌握级数.
常数项级数
定义1[1] 给定一个数列{},对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
(1)
称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),其中称为数项级数(1)的通项.
数项级数(1)也常写作:或简单写作.
数项级数(1)的前项之和,记为,称它为数项级数(1)的第个部分和,也简称部分和.
数项级数敛散性的定义
定义2[2] 若数项级数(1)的部分和数列收敛于(即),则称数项级数(1)收敛,称为数项级数(1)的和,,则称数项级数(1)发散.
函数项级数
函数项级数的定义
定义3[3] 设是一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.
定义4[4] 设是定义在数集上的一个函数列,表达式
称为定义在上的函数项级数,
为函数项级数的部分和函数列.
函数项级数一致收敛的定义
定义5[4] ,则称函数项级数在上一致收敛于函数,或称在上一致收敛.
3 常数项级数敛散性的一些判别方法
级数的一些基本性质可以帮助我们判断级数的敛散性,但是在实际问题中,仅仅利用级数的基本性质判断级数的敛散性是远远不够的,,除了运用级数的基本性质判断级数的敛散性外,还有一些级数敛散性的判别方法,如比较判别法、比值判别法、根式判别法、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法、魏尔斯特拉斯判别法、莱布尼茨判别法等.
正项级数敛散性的判别法
若数项级数各项的符号都相同,,只须研究各项都是由正整数组成的级数,,则它乘以-1后就得到一个正项级数,它们具有相同的收敛性.
比较判别法
定理1[4] (比较判别法) 设和是两个正项级数,如果存在某正数,对一切都有,则
(i) 若级数收敛,则级数也收敛;
(ii)若级数发散,则级数也发散.
推论(比较判别法的极限形式) 设,是两个正项级数,若,则
(i) 当时,级数、同时收敛或同时发散;
(ii)当且级数收敛时,级数也收敛;
(iii)当且级数发散时,级数也发散.
用比较判别法时,(时收敛,时发散),等比级数(时收敛,时发散).
例1 判别下列级数的敛散性:
(1) ; (2).
解(1)注意到收敛,将所给级数与之比较,事实上,,.
注意到级数收敛(),试用此级数作比较级数判别之,事实上,由比较判别法的极限形式知原级数收敛.
比值判别法(达朗贝尔判别法)
定理2[5] 若为正项级数,且,则
(i) 当时,级数收敛;(ii) 当或时,级数发散.
该判别法的特点是利用级数本身后项与前项之比的极限判别其收敛性,