文档介绍：函数对称性、周期性和奇偶性规律
同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
周期性:对于函数,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有都成立,那么就把函数叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。
对称性定义(略),请用图形来理解。
对称性:
我们知道:偶函数关于y(即x=0)轴对称,偶函数有关系式
奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式
上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的
探讨:(1)函数关于对称
也可以写成或
简证:设点在上,通过可知,,即点上,而点与点关于x=a对称。得证。
若写成:,函数关于直线对称
(2)函数关于点对称
或
简证:设点在上,即,通过可知,,所以,所以点也在上,而点与关于对称。得证。
若写成:,函数关于点对称
(3)函数关于点对称:假设函数关于对称,即关于任一个值,都有两个y值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0,则有可能会出现关于对称,比如圆它会关于y=0对称。
周期性:
(1)函数满足如下关系系,则
A、 B、
C、或(等式右边加负号亦成立)
D、其他情形
(2)函数满足且,则可推出即可以得到的周期为2(b-a),即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”
(3)如果奇函数满足则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为,根据可以找出其对称中心为(以上)
如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为,根据可以推出对称轴为(以上)
(4)如果奇函数满足(),则函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足(),则函数是以2T为周期的周期性函数。
定理3:若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.
定理4:若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.
定理5:若函数在R上满足,且(其中),则函数以为周期.
两个函数的图象对称性
与关于X轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于Y轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
关于点(a,b)对称。
换种说法:与若满足,即它们关于点(a,b)对称。
与关于直线对称。
函数的轴对称:
定理1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论2:如果函数满足,则函数的图象关于直线(y轴),.
函数的点对称:
定理2:如果函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论3:如果函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论4:如果函数满足,,.
三、总规律:定义在R上的函数,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。
四、试题
,,且,则的值(A ).
.
分析:形似周期函数,但事实上不是,不过我们可以取特殊值代入,,先用代替,使变形为
.,.
,且函数在上单调递增,所以
,又由,
有,
.选A.
当然,如果已经作出大致图象后,用特殊值代人也可猜想出答案为A.
2:在R上定义的函数是偶函数,,则( B )
,在区间上是减函数
,在区间上是减函数
,在区间上是增函数
,在区间上是增函数
分析:由可知图象关于对称,,可得到为周期函数且最小正周期为2,结合在区间上是减函数,
,又是周期函数,,则可能为( D )
分析:,,
∴,则可能为5,选D.
,且当时,.求的值.
分析:由推论1可知,的图象关于直线对称,即,
同样,满足,现由上述的定理3知是以4为周期的函数.