文档介绍：Lebesgue积分思想简介
序言
微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续,则
若F `(x) 在[a,b]上连续,则
导数(切线斜率)
xi-1 xi
定积分(面积)
微积分发展的三个阶段
创立(17世纪):Newton(力学)Leibniz(几何)
(无穷小)
严格化(19世纪): Cauchy, Riemann, Weierstrass
(极限理论(ε-N, ε-δ语言),实数理论)
外微分形式(20世纪初):Grassmann, Poincare, Cartan
(微积分基本定理如何在高维空间得到体现)
微积分继续发展的三个方向
外微分形式(整体微分几何)
(微积分基本定理如何在高维空间得到体现)
复数域上的微积分(复变函数)
微积分的深化和拓展(实变函数)
(1) Riemann积分的定义
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义(非负函数):
函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
其中
(2) Riemann可积的充要条件
f(x)在[a,b]上Riemann可积
其中:
xi-1 xi
xi-1 xi
(2) Riemann可积的充要条件
f(x)在[a,b]上Riemann可积
其中:
xi-1 xi
(2) Riemann可积的充要条件
f(x)在[a,b]上Riemann可积
注:连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积
xi-1 xi
例:Dirichlet函数不Riemann可积。
注:D(x)的下方图形
可看成由[0,1]中每个
有理点长出的单位线
段组成。
上积分
下积分
0 1
(3)Riemann积分的局限性
定理:若f(x)在[a,b]上可微且f `(x)在[a,b]上
Riemann 连续,则
注:推荐大家看看龚升写的
《话说微积分》, 《简明微积分》,
数学历史的启示(《数学教学》,),
微积分严格化后(《高等数学研究》,2002,1-3)
1881年Volterra作出一可微函数,导函数有界但不Riemann可积;