线性代数§3.ppt

文档介绍：分析: 用消元法解下列方程组的过程.
引例: 求解线性方程组
§ 矩阵的初等变换
本章先讨论矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念, 并提出求秩的有效方法. 再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件, 并介绍用初等变换解线性方程组的方法. 内容丰富, 有一定难度.
一、消元法解线性方程组
解:
①②
③2
②③
③2①
④3①
②2
③+5②
④–3②
③2④
③④
用“回代”的方法求出解.
于是得解:
其中x3可以任意取值.
或令x3=c, 方程组的解可记作:
.
2. 始终把方程组看作一个整体变形, 用到如下三种变换:
(2)
其中c为任意常数.
或
归纳以上过程:
(3) 一个方程加上另一个方程的 k 倍:
(2) 以不等于0的数 k 乘某个方程:
(1) 交换方程次序:
i 与 j 相互替换;
以 i k替换 i ;
以 i +k j 替换 i .
由于三种变换都是可逆的, 所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的. 故这三种变换是同解变换.
3. 上述三种变换都是可逆的.
因为在上述变换过程中, 未知量并未参与本质性运算, 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算.
若记
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的变换.
二、矩阵的初等变换
定义: 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(1) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ) ;
(2) 以非零数k乘以某一行的所有元素( 第 i 行乘 k, 记作 ri k );
(3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去, 记作 ri+krj ).
同理可定义矩阵的初等列变换( 所用记号是把“r”换成“c”).
定义: 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.
显然,三种初等变换都是可逆的。初等变换的逆变
换仍为初等变换且变换类型相同.
ri rj 的逆变换为 rj ri;
ri k 的逆变换为 ri (1/k), 或 ri k;
ri+krj 的逆变换为 ri+(–k)rj , 或 ri – krj .
定义: 如果矩阵A可经过有限次初等行变换变为矩阵B, 则称矩阵A与矩阵B行等价. 记作A, 则称矩阵A与矩阵B列等价. 记作A, 则称矩阵A与矩阵B等价. 记作AB.
具有以下三条性质的关系称为等价关系:
(1) 自反性: A  A;
(2) 对称性: 若A  B, 则 B  A;
(3) 传递性: 若A  B, 且 B  C, 则A  C.
矩阵的等价满足等价关系的定义.
两个同解线性方程组具有等价关系性质, 因此也称两个同解线性方程组为等价的.
用矩阵的初等行变换解方程组(1).
r1r2
r32
r2–r3
r3–2r1
r4–3r1
①②
③2
②③
③2①
④3①
r3+5r2
r4–3r2
r2 2
r3–2r4
r4r3
r2–r3
r1–r3
r1–r2
②2
③+5②
④–3②
③2④
③④
②③
①③
①②