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文档介绍：第13章格与布尔代数
浙江大学宁波理工学院计算机系
提纲
格与布尔代数概述
格的定义与实例
格的性质
对偶原理
算律:交换律、结合律、幂等律、吸收律
序的性质
格的等价定义
子格
特殊的格:分配格、有界格、有补格、布尔格
在第一章我们介绍了命题逻辑。当时被侧重的只是形式系统。如果视P为全体命题的集合,于是逻辑联词∨,∧就可以被看作P上的两个二元代数运算。因而,(P,∨,∧)是一个代数,即通常所说的命题代数。
在命题代数中,运算∨,∧满足幂等律,交换律,结合律,分配律和吸收律。
格与布尔代数概述
在第六章我们介绍了集合的最为一般的一些理论,被关心的只是集合的基本概念,集合的运算和基数等方面的事实。如果我们令S=P(A),对于X,YS,则都有X∪Y,X∩YS。在这两种二元运算下,(S,∪,∩)是代数,即所谓幂集代数。
在幂集代数中, 运算∪, ∩满足幂等律, 交换律, 结合律, 分配律和吸收律.
在幂集代数中引进了补集的概念和在命题代数中引进了否定的概念之后, 则在这两种代数中, 都具有了De Morgan律.
从代数的观点出发,我们是否能对一种更为抽象的代数系统进行研究, 使得幂集代数, 命题代数仅仅是它的特例? 回答是肯定的. 这种抽象的代数系统就是格和布尔代数. 研究布尔代数首先要研究格, 因为布尔代数是一种特殊的格.
格作为数学中一个很有特色的分支, 大体上说形成于二十世纪的三十到四十年代. 格作为一种理论, 它不只是代数学的一个部分, 而且在近代解析几何, 半序空间等方面也都有重要的作用.
布尔代数的问世比格要早,在十九世纪中叶,由英国数学家乔治·布尔研究并提出。
格和布尔代数在计算机科学中有广泛的应用,象有限自动机理论,开关网络理论,逻辑设