文档介绍：第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析
•拉普拉斯变换
•系统函数
•系统函数的零、极点分布分析
•线性系统的稳定性
•拉氏变换与傅氏变换的关系
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引言
拉氏变换作用?
目前,在连续、线性、
时不变系统分析中,利用
拉氏变换建立的系统函数
及其零、极点分析的概念
仍发挥重要作用。
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拉氏变换优点
•求解常系数微分方程的步骤得到简化,初始条
件被自动计入,应用更加普遍。
•将“微分”与“积分”运算转换为“乘法”和“除法”
•指数函数等以及有不连续点的函数,经拉氏变
换可转换为简单的初等函数
•时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函
数的乘法运算,建立了系统函数的概念
•利用系统函数零、极点分布可以简明描述系统
性能
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拉氏变换的定义、收敛域
傅氏变换到拉氏变换
若乘一衰减因子e −σt ,σ
不满足狄里赫利
为任意实数,则 f (t ). e −σ t
条件的几种情况收敛,满足狄里赫利条件
u(t) u(t)e−σt
增长信号 eat (a >0) eat .e−σt (σ> a)
周期信号 cosω t −σt
1 e cosω1t
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−σt
f1(t) = f (t)e
∞
−(σ+ jω)t
F1 (ω) = f (t)e dt = F (σ+ jω)
∫−∞
象函数 s=σ+jω
∞
F (s) = f (t)e − st dt
∫−∞
s=σ+jω为复数,具有频率量纲,称为复频率。
傅氏变换: 实频率ω是振荡频率
拉氏变换: 复频率S ω是振荡频率,σ是衰减因子
∞
−σt F (σ+ jω) = f (t)e −(σ+ jω)t dt
f1(t) = f (t)e ∫−∞
1 ∞
f (t )e −σt = F (σ+ jω)e jωt dω
2π∫−∞
1 ∞
f (t ) = F (σ+ jω)e (σ+ jω)t dω
2π∫−∞
已知s = σ+ jω,所以ds = dσ+ jdω,
σ为常量,则ds = jdω
原函数
1 σ+ j∞
∴ f (t) = F(s)estds
2πj ∫σ− j∞
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∞
拉氏变换 F (s) = f (t)e − st dt
∫−∞
1 σ+ j∞
拉氏反变换 f (t) = F (s)e st ds
2πj ∫σ− j∞
∞
单边拉氏变换为 F (s) = f (t)e − st dt
∫0
对于0−系统,相应的单边拉氏变换为:
∞
F (s) = f (t)e − st dt
∫0 −
1 σ+ j∞
f (t) = F (s)e st ds
2πj ∫σ− j∞
拉氏变换的定义、收敛域
傅氏变换和拉氏变换差别
傅氏变换拉氏变换
f (t) ↔ F(ω) f (t) ↔ F(s)
t和ω是实数 t是实数,s是复数
ω只能描述振荡频率 s 不但能给出重复频率,
还能表示幅度的增长速
率或衰减速率
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拉氏变换的定义、收敛域
收敛域:使F(s)存在的s的区域称为收敛域。
−σt
即:lim f (t)e = 0 (σ> σ 0 )
t →∞
记为ROC(Region of Convergence).
jω
收敛区
以为界σ 0
σ
收敛轴
σ=σ0
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拉氏变换的收敛域
−αt
•满足lim f (t)e = 0 (σ> σ 0 ) 的信号称为指数阶信号.
t→∞
jω
有始有终信号和能量有限信号
•整个平面
的拉氏变换一定存在
σ
•等幅振荡信号和增长信号
σ jω
如σ= 0 或σ= a 以为界0
0 0 σ
σ0 = a
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拉氏变换的收敛域
• limt ne−σt = 0(σ> 0),也称为指数阶信号。
t→∞
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•不收敛信号et , tet (0≤t ≤∞)
是非指数阶信号,无法进行拉氏变换。
除非(0 ≤ t ≤ T)
•一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围
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