第4章 离散时间信号分析1.ppt

文档介绍：§ 序列的傅里叶变换
定义单位圆上的z变换是离散序列的傅里叶变换。
它表示序列的频谱。一般简写为DTFT。
第四章离散时间信号分析
X(z)=
x(n)zn

n=0

1、DTFT的定义
z=esT =e(+j)T = rej
X(ej)=X(z)
z=ej
x(n) zn
=
n=

z=ej
x(n) ejn
=
n=

X(ej)可以展开为傅里叶级数,系数是x (n)。
式得到
序列的傅里叶反变换也可将 z=ej代入z反变换的公
x(n) =
X(z)zn1dz
j2
1
|z|=1
z=ej
j2
1

=


X(ej)ej(n1)dej
j2
1

=


X(ej)ej(n1)jej d
2
1

=


X(ej)ejnd
因此序列的傅里叶正反变换对,可记为
x(n)↔ X(ej)
IDTFT[ X (ej) ] =x(n)
或 DTFT[ x(n)]=X(ej)
x(n)ejn
=
n=

2
1

=


X(ej)ejnd
序列的傅里叶变换X(ej)是周期函数,因为
=X(ej)
x(n)ejn(+2M)
=
n=

X(ej(+2M))
x(n) ejn e j2nM
=
n=

X(ej) 是频率的周期连续函数,周期为2。
其余的为各次谐波频带。
定义周期频谱的≤≤区间为基带频带,
基带区间≤≤之内的特性。
既然X(ej)是以2 为周期的周期函数,所以只需要在
≤≤或 0≤≤ 2内标明X(ej)就足矣。
与连续时间信号的分析相似,一般只需给出X(ej)
若取N=4 ,则
例已知序列x(n)= RN(n) ,求其傅里叶变换X(ej)
X(ej)
x(n)ejn
=
n=

ejn
=
n=0
N1
1ejN
1ej
=
=ej(N1)/2
sin(N/2)
sin(/2)
X(ej)
=ej3/2
sin(2)
sin(/2)
|X(ej)|
0 1 2 3
x(n)
n

4
0
2
/2

X(ej)
=ej3/2
sin(2)
sin(/2)
由DTFT与 IDTFT定义及上例可知,非周期离散序列的
傅里叶变换是连续的周期函数。而对连续的周期信号
的。在这又一次看到了傅里叶变换的时频对称性。
利用傅里叶级数展开,其傅里叶系数Fn是非周期离散
系统频响
模拟系统
系统频响
DTFT的物理意义
x(t)
h(t)
y(t)
y(t) =x(t) h(t)
若x(t)=ejt代入
= x(t) h()d


ej(t) h()d



=
ejt ej h()d



=
= ejt H(j)
H(j)
类似的,离散系统
系统频响
x(n)
h(n)
y(n)
y(n) =x(n) h(n)
若x(n)=ejn代入
=  x(nm)h(m)
m= 

=  ej(nm)h(m)
m= 

= ejn h(m) e jm
m= 

= ejn H(e j)
H(e j)
2、输入输出关系
模拟系统
x(t)
h(t)
y(t)
Y(j)
H(j)
X(j)
y(t) =x(t) h(t) Y(j)= X(j) H(j)
离散系统
x(n)
h(n)
y(n)
H(e j)
Y(e j)
X(e j)