文档介绍：2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:18小题,每小题4分,,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 曲线渐近线的条数( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数,其中为正整数,则( )
(A) (B) (C) (D)
(3) 如果函数在处连续,那么下列命题正确的是( )
(A) 若极限存在,则在处可微
(B) 若极限存在,则在处可微
(C) 若在处可微,则极限存在
(D) 若在处可微,则极限存在
(4)设则有( )
(A) (B) (C) (D)
(5)设, , , ,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )
(A) (B) (C) (D)
(6) 设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,=(),,则( )
(A) (B) (C) (D)
(7)设随机变量与相互独立,且分别服从参数为与参数为的指数分布,则( )
(A) (B) (C) (D)
(8)将长度为的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题:914小题,每小题4分,.
(9)若函数满足方程及,则
(10)
(11)
(12)设,则
(13)设为三维单位向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵的秩为
(14)设,,是随机变量,A与C互不相容,
三、解答题:15~23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)
证明
(16)
求函数的极值
(17)
求幂级数的收敛域及和函数
(18)
已知曲线其中函数具有连续导数,且若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为1,求函数的表达式,并求此曲线与轴与轴无边界的区域的面积。
(19)
已知是第一象限中从点沿圆周到点,再沿圆周到点的曲线段,计算曲线积分
(20)(本题满分分)
设
(I)计算行列式
(II)当实数为何值时,方程组有无穷多解,并求其通解。
(21)
已知,二次型的秩为2
(1)求实数的值;
(2)求正交变换将化为标准型.
(22)
设二维离散型随机变量、的概率分布为
0
1
2
0
0
1
0
0
2
0
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求.
(23)
设随机变量与相互独立且分别服从正态分布与,其中是未知参数且。设
(1)求的概率密度
(2)设为来自总体的简单随机样本,求的最大似然估计量
(3)证明为的无偏估计量
数一参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
B
D
C
B
A
D
二、填空题
9、; 10、; 11、; 12、; 13、2; 14、
三、解答题
(15)
证明:令,是偶函数
所以
即证得:
(16)
解:
得驻点

根据判断极值的第二充分条件,
把代入二阶偏导数B=0,A>0,C>0,所以为极小值点,极小值为

把代入二阶偏导数B=0,A<0,C<0,所以为极大值点,极大值为
(17) 解:(Ⅰ)收敛域
令
,得,当时,技术发散。所以,收敛域为
(Ⅱ)设
令,
因为
所以
因为
所以
所以
即,故
当时,
当时,
所以,
(18)解:
曲线在任一处的切线斜率为,过该点处的切线为。令得。由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为1.
故有,又因为
所以,两边同时取不定积分可得,又由于,所以C=0
故函数
此曲线与轴和轴所围成的无边界的区域的面积为:
(19)解:
补充曲线沿轴由点到点,D为曲线和围城的区域。由格林公式可得
原式=
=
(20)解:
(I)
(II) 对方程组的增广矩阵初等行变换:
可知,要使方程组有无穷多解,则有且,可知
此时,方程组的增广矩阵变为,进一步化为最简形得可知导出组的基础解系为,非齐次方程的特解为,故其通解为
(21)解:
(1)
由二次型的秩为2,知,故
对矩阵A初等变换得
因,所以
(2)令
所以B的特征值为
对于,解得对应的特征向量为
对于,解得对应的特征向量为
对于,解得对应的特征向量为
将单位化可得
正交矩阵,则
因此,作正交变换,二次型的标准形为
(22)解:
X
0
1
2
P
1/2
1/3
1/6
Y
0
1
2
P
1/3
1/3
1/3
XY
0
1
2
4
P
7/12
1/3
0
1/12
(Ⅰ)
(Ⅱ)
,其中
,
所以,