隐函数及隐函数组.ppt

文档介绍：第18章
一、一个方程所确定的隐函数
及其导数
二、方程组所确定的隐函数组
及其导数
§1 隐函数及隐函数组
一. 隐函数概念
引例1.
方程
当 x 定义在
上时,可得函数
其显函数形式为:
引例2
.方程
当时,
当时,
确定
确定
引例3.
当 C < 0 时, 能确定隐函数;
当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
方程
引例4.
可否确定一个定义
上的函数
,使得
这函数
用 x 的算式来如何表达?
在
方程
定义:
设 XR,Y R,
函数 F: XYR.
对于方程
若存在集合
IX 与 J Y ,
使得对于任何xI,
恒有yJ,
它与x一起满足方程(1),
则称方程(1)确定一个定义在 I
上,值域含于J 的隐函数.
若把它记为
则成立恒等式
本节讨论:
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数.
2) 在方程能确定隐函数时,
研究其连续性、可微性
及求导方法问题.

定理1. 设函数
则方程
单值连续函数 y = f (x) ,
并有连续
(隐函数求导公式)
定理证明从略,仅就求导公式推导如下:
①具有连续的偏导数;
的某邻域内可唯一确定一个
在点
的某一邻域内满足
②
③
满足条件
导数
视 y为x的函数两边对 x 求导
在
的某邻域内
则
例1. 验证方程
在点(0,0)某邻域
可确定一个单值可导隐函数
解: 令
连续;
由定理1 可知,
①
导的隐函数
则
②
③
在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
且
并求
公式法:
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
令 x = 0 , 注意此时
另一求法
—直接法( 利用隐函数求导公式推导法)
代入导数方程得