文档介绍：第三章矩阵分析
在此之前我们只研究了矩阵的代数运算,但在数学的许多分支和工程实际中,特别是涉及到多元分析时,,然后介绍矩阵函数和它的计算,最后介绍矩阵的微积分,以及矩阵分析在解微分方程组和线性矩阵方程中的应用.
§ 矩阵序列
设有中的矩阵序列,,则称矩阵序列收敛于,或称A为矩阵序列的极限,记为
或
不收敛的矩阵序列称为发散.
由定义可见,,,可以利用矩阵范数来研究矩阵序列的极限.
设,.则的充分必要条件是,其中是上的任一矩阵范数.
证先取上矩阵的G-
所以的充分必要条件是.
又由范数的等价性知,对上任一矩阵范数,存在正常数α,β,使得
推论设,,.则
其中是上任一矩阵范数.
需要指出的是,
收敛的矩阵序列的性质,有许多与收敛数列的性质相类似.
设,,其中,,A,B为适当阶的矩阵,α,β∈
(1);
(2) ;
(3)当与A均可逆时,.
证取矩阵范数,有
(1)和(2)成立.
因为,存在,所以,
(3)中条件与A都可逆是不可少的,
对每一个都有逆矩阵,但
而A是不可逆的.
在矩阵序列中,.
设,若,则称A为收敛矩阵.
设,则A为收敛矩阵的充分必要条件是ρ(A)<1.
,则由谱半径的性质,有
其中是上任一矩阵范数,即有,故ρ(A)<1.
(A)<1,则存在正数ε,使得ρ(A)+ε<,存在上的矩阵范数,. 证毕
,则A为收敛矩阵.
判断下列矩阵是否为收敛矩阵:
(1); (2).
解(1)可求得A的特征值为,,于是,故A是收敛矩阵;
(2)因为,所以A是收敛矩阵.
§ 矩阵级数
由中的矩阵序列构成的无穷和称为矩阵级数,,,且有极限S,即,则称矩阵级数
收敛,而且有和S,记为不收敛的矩阵级数称为发散的.
如果记,,显然相当于
即mn个数项级数都收敛.
已知
研究矩阵级数的敛散性.
解因为
所以
故所给矩阵级数收敛,且其和为S.
都绝对收敛,即都收敛,则称矩阵级数绝对收敛.
利用矩阵范数,可以将判定矩阵级数是否绝对收敛转化为判定一个正项级数是否收敛的问题.
,其中是上任一矩阵范数.
证先取矩阵的-,由于
从而由正项级数的比较判别法知都收敛,故绝对收敛.
反之,若绝对收敛,则都收敛,从而其部分和有界,即
记,则有
,收敛的充分必要条件是收敛,其中是上任一矩阵范数. 证毕
利用矩阵级数收敛和绝对收敛的定义,以及数学分析中的相应结果,可以得到以下一些结论.
设,,其中,,A,B是适当阶的矩阵,则
(1);
(2)对任意λ∈C,有;
(3)绝对收敛的矩阵级数必收敛,并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数仍收敛,且其和不变;
(4)若矩阵级数收敛(或绝对收敛),则矩阵级数也收敛(或绝对收敛),并且有
(5)若与均绝对收敛,则它们按项相乘所得的矩阵级数
也绝对收敛,且其和为AB.
证只证(4)和(5).若收敛,记,
可见收敛,且式()成立.
若绝对收敛,,但其中α是与k是无关的正数,从而收敛,即绝对收敛.
当和绝对收敛时,,设其和分别为与,从而它们按项相乘所得的正项级数
也收敛,
所以矩阵级数(),,
则
又记,,
显然
故由和,得证毕
下面讨论一类特殊的矩阵级数——矩阵幂级数.
设,.称矩阵级数为矩阵A的幂级数.
利用定义来判定矩阵幂级