文档介绍：第9章拉普拉斯变换
THE LAPLACE TRANSFORM
11/10/2017
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4. 双边拉普拉斯变换的性质;
本章基本内容:
1. 双边拉普拉斯变换;
2. 双边拉普拉斯变换的收敛域;
5. 系统函数;
6. 单边拉普拉斯变换;
3. 零极点图;
引言 Introduction
傅里叶变换是以复指数函数的特例和为基底分解信号的。对更一般的复指数函数和,也理应能以此为基底对信号进行分解。
傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如此有用,很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合,而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。
通过本章及下一章,会看到拉普拉斯变换和Z变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质,不仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析问题,而且还能用于傅里叶分析方法不适用的许多方面。拉普拉斯变换与Z变换的分析方法是傅里叶分析法的推广,傅里叶分析是它们的特例。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。
拉普拉斯变换
复指数信号是一切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为,则系统对
产生的响应是:
,其中
显然当时,就是连续时间傅里叶变换。
The Laplace Transform
:
称为的双边拉氏变换,其中。
若, 则有:
这就是的傅里叶变换。
表明:连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在或是在轴上的特例。
由于
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广, 的
拉氏变换就是的傅里叶变换。只要有合适的存在,就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
例1.
在时,积分收敛。
当时, 的傅里叶变换存在
显然,在时,拉氏变换收敛的区域为
,包括了(即轴)。
比较和,显然有
当时,
可知
例2.
,区别仅在于收敛域不同。
由以上例子,可以看出:
1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在,也不是 S 平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。
2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合,称为拉氏变换的收敛域。拉氏变换的收敛域 ROC (Region of Convergence)对拉氏变换是非常重要的概念。