文档介绍：2009年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、填空题(共题,每题10分,计分)
1、某人在将中间的两个数码分别换成两位数与时,恰好都得到完全平方数:,则数组
解:注意到,对于整数,若的末位数为,则的末位数必为或,易知
,(),,因此,于是,若要满足条件,只可能是,,由于,,
所以,.
2、若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点,则椭圆的方程为:
解:双曲线的两顶点为,两焦点为,故由条件,椭圆的两焦点为,
两顶点为,因此,,,则椭圆的方程为.
3、实数满足,则的最大值是。
解:令,则,由,得,
因为实数,则判别式,得.
4、四面体中,,平面与平面成的二面角,则点到平面的距离为.
解:,作平面,垂足为,连,由三垂线逆定理,,所以,故,,又因
为正方形,,则,因此正三角形的面积为,设到平面的距离为,由,得
5、从集合中,去掉所有的倍数以及的倍数后,则剩下的元素个数为.
解:集合中,的倍数有个,的倍数有个,的倍数有个,则剩下的元素个数为个.
、函数的值域是.
解:,令,则,由此,,
当时两边分别取得等号.
、.
解:原式
.
(注:由,则,即.)
、九个连续正整数自小到大排成一个数列,若为一平方数,为一立方数,则这九个正整数之和的最小值是.
解:设这九数为,则有,
,,,则,得………①
令,得,所以,再取,,化为,取,可使左式成立,
这时,,.
二、解答题(共题,合计分)
、(20分)给定轴上的一点(),对于曲线上的动点,试求两点之间距离的最小值(用表示).
解:如图,易求得曲线上诸点的坐标为:,
当,即时,曲线方程为………①;
而当时,曲线方程为………②,
对于情形①,即时,显然当位于顶点处时,距离取得最小值;………5分
对于情形②,即在或时,设点,由于
,因,则,,
于是,当时,取得最小值; …………15分
再比较与:令,
则当时,,,即最小值为;
而当时,,则最小值. …………20分
、(分)在一个圆中任取三条互不相交的弦,以其中每两条弦为一组对边,各得到一个凸四边形,设这三个四边形的对角线的交点分别为
;
证明:三点共线.
证:如图,设为三条不相交的弦,其中,,,又设
,点截的三边,据梅涅劳斯逆定理,
只要证……①, …………5分
用记号表示三角形面积,则由……②
……③
由此得,因此只要证, ……④, …………15分
注意, ,则
,
所以,即④成立,从而①成立,故结论得证. …………25分
、(25分)项正整数列的各项之和为,如果这个数既可分为和相等的个组,又可分为和相等的个组,求的最小值.
解:设分成的个组为,每组中的各数和皆为,称这种组为类组;而分成的个组为,每组中的各数和皆为,称这种组为类组. …………5分
显然,每个项恰好