文档介绍：传染病问题的模型
参赛选择题号: 1
参赛报名组号: 95
参赛队员姓名:
1. 孟高阳
2. 白由田
3. 王英杰
传染病问题的模型
【摘要】随着医学的发展,我们已经能够有效地预防和控制许多传染病,但是仍然有一些传染病暴发,危害人们的健康和生命。经济、环境、地理位置等因素都会影响传染病的传播,而最直接的因素是:传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
本文通过详细分析、合理假设,对传染病问题建立模型,分析被传人数多少与初始被感染人数和传播时间等因素有关,同时我们运用最浅显的初等几何知识、微分方程的求解以及利用Matlab软件上机运算等方法,得到了该模型的优缺点,并做出了改进方案。
【关键词】传染病 Matlab AutoCAD 微分方程阈值相轨线分析
Ⅰ、问题重述
在一个人口数量N的孤岛上,一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病。请预测在某时刻t将会被感染的人数X。考虑一下模型,其中k>0为常数:
(1)
本文主要通过以下四个方面对本问题进行分析:
1、找出本模型所隐含的两条主要假设;
2、利用所给模型的函数,做出关于被感染人数和传播时间的图形;
3、根据(f)所给数据,计算得出结论是否支持该模型;
4、通过进一步分析,提出对本模型的改进方案。
Ⅱ、模型一
模型假设
1、在疾病传播期内该岛总人数N不变,不考虑人的生死、迁移、治愈以及具有免疫力的情况。
2、每天每个病人有效接触的平均人数为常数k。
假设依据
根据题目给出方程可知,在t时刻共有个健康者被感染,而没有死亡的、迁移的、治愈的以及具有免疫力的人。
孤岛上的总人数没有发生改变,旅游回来的居民携带着传染病,每天由于人员的流动性,并且没有对岛上的居民进行有效的宣传,因此随着时间的推移,岛上得病的人将会越来越多,而每天每个病人有效接触的平均人数基本稳定,因此k为常数。
三、符号说明
表示岛上的人口总数
表示被感染的人数
表示初始被感染的人数
k表示每天每个病人有效接触的平均人数
四、数据处理
根据,可画出关于X的图1-1,
图1-1
2、设初始时刻被感染病人数为,可得方程:
(2)
解得:
(3)
根据式(3)可知:
当初始被感染人数X<时,得到如图1-2,
图1-2
当初始被感染人数X>时,得到如图1-3,
图1-3
根据极限的运算法则可知,当t时,,,则,即X的极限为
。
模型验证
(1)由(f)可知,岛上的人口有5000人,在传染期的不同时刻被感染的人数如表1,
天数t
2
6
10
被感染人数X
1887
4087
4853
㏑(X/(N-X))
-
表 1
由方程可化简得,
得到: (㏑+㏑) (4)
将以上数据代入(4)式:
以上三式经计算可得:
(5)
由计算结果得:
k>0 且为常数,
故这些数据支持所给模型。
(2)由(1)可解得
当t=12时,X=4945,即t=12天时被感染的人数为4945人。
模型分析
优点:当X=N/2时,达到最大值,此时,这可以表示传染病高峰时刻,当传染强度k增加时,将变小,即传染高峰来得快,这与实际情况吻合。
缺点:当时,,即所有人终将被传染,全变为病人,这显然不符合实际情况。其原因是模型一中没有考虑到病人可以治愈以及人的出生、死亡、流动等情况,认为人群中的健康者只能变为病人,病人不会再变成健康者。
为了修正上述结果,我们重新考虑了模型的假设,在下面这个模型中我们讨论了病人可以治愈的情况。
Ⅲ、模型二
一﹑模型假设
1、在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变,人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类:易感染者,其数量比例记为s(t),表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例;感染病者,其数量比例记为i(t),表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例;恢复者,其数量比例记为r(t),表示t时刻已从染病者中移出的人数(这部分人既非已感染者,也非感染病者,不具有传染性,也不会再次被感染,他们已退出该传染系统。)占总人数的比例。
2、病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数)为常数λ,日治愈率(每天被治愈的病人占总病人数的比例)为常数μ,显然平均传染期为1/μ,传染期接触数为σ=λ/μ。
二﹑模型构成
由假设1中显然有:
s(t) + i(t) + r(t) = 1 (6)
对于病愈免疫的移出者的数量应为
(7)
记初始时刻的易感染者,染病者,恢复者的比例分别为(>0),(>0)