文档介绍：第二章不定方程
§ 二元一次不定方程
所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些条件限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。不定方程也称为丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程(组)是数论中的一个古老分支,,“百鸡问题”等一直流传至今,“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理.
学****不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维能力,,与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现,每年世界各地的数学竞赛,不定方程都占有一席之地;另外它也是培养思维能力的好材料,数学竞赛中的不定方程问题,不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解,而且更需要讲究思想、方法与技巧,创造性的解决问题。
一、问题的提出〔百钱买百鸡〕
鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一。
百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?”
分析:设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数,
则可列出方程如下:
消去z得到方程
这里,方程的个数少于未知数的个数,在实数范围内,
方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数
〔或正整数〕解,这种方程〔组〕称为不定方程。
小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五
边形、正六边形四种地板砖,要选择其中两种用
以铺地板,则下列选择正确的是( )
分析: 这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题,因为铺好的地板中间不能出空隙,所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角,并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。
A、①②、 B、①③、 C、②③、 D、②④
设需正三角形地砖m块,正方形地砖n块恰好铺成,
则有
60m+90n=360.
例小张带了5元钱去买橡皮和铅笔,橡皮每块1 元1角,铅笔每支3角,问5元钱刚好买几块橡皮和几支铅笔?
二、二元一次不定方程解的研究
:
?
,有多少解?
,如何求解?
证明:(P. 66)
记 d = (a, b)。若方程ax by=c有解,设为(x0, y0)。则由da, db整除的性质容易知道dc成立。必要性得证。
另一方面,(裴蜀恒等式),存在整数(x0, y0)使得
a x0 b y0 = (a, b)= d。
两个推论
推论1: 如果(a,b)=1,那么方程(1)有整数解.
推论2: 如果,那么方程(1)没有整数解.
练****判断下列不定方程有没有整数解。