文档介绍：机器人运动学
第二章数学基础—齐次坐标和齐次变换
杜志江、纪军红
科学园C1栋机器人研究所206室
86414462-12
******@hit.
junhong.******@hit.
参考教材
付京逊《机器人学》
蔡自兴《机器人学》
引言 机器人位置和姿态的描述
机器人可以用一个开环关节链来建模
由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
一端固定在基座上,另一端是自由的,安装工具,用以操纵物体
人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述,也就是机器人的运动学问题
机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系
动画示例
运动学研究的问题
Where is my hand?
Direct Kinematics
HERE!
How do I put my
hand here?
Inverse Kinematics:
Choose these angles!
运动学正问题
运动学逆问题
丹纳维特(Denavit)和哈顿贝格(Hartenberg) 于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法
具有直观的几何意义
能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题
其数学基础即是齐次变换
点和面的齐次坐标 点的齐次坐标
一般来说,n维空间的齐次坐标表示是一个(n+1)维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间,也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量,
a= , b= , c= ,w为比例系数
显然,齐次坐标表达并不是唯一的,随w值的不同而不同。在计算机图学中,w 作为通用比例因子,它可取任意正值,但在机器人的运动分析中,总是取w=1 。
列矩阵
[例]:
可以表示为:
V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T
或 V=[-12 -16 -20 -4]T
齐次坐标与三维直角坐标的区别
V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的(x、y、z)
而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。
几个特定意义的齐次坐标:
[0, 0, 0, n]T—坐标原点矢量的齐次坐标,n为任意非零比例系数
[1 0 0 0]T—指向无穷远处的OX轴
[0 1 0 0]T—指向无穷远处的OY轴
[0 0 1 0]T—指向无穷远处的OZ轴
2个常用的公式: