文档介绍：全轮转向式小车
一、坐标系与位置表示
图1 地理坐标系与体坐标系
定义如图所示的坐标系,地理坐标系{XI,YI},体坐标系{XR,YR},坐标之间夹角为θ,P点位置描述为
εI=xyθ
由地理坐标转为体坐标的映射由正交旋转矩阵完成
εR=RθεI=cosθsinθ0-sinθcosθ0001xyθ
反方向变换矩阵如下
Rθ-1=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001
二、运动学模型与控制律
图2 轨迹跟踪示意图
坐标系参照图2,对于地理坐标中的位置指令pI=(xr yr θr)和速度指令qI=(vr ωr)将对应的误差在体坐标系中表示出来
pR=xeyeθe=cosθsinθ0-sinθcosθ0001xr-xyr-yθr-θ
对上式求导的到[1]:
xe=xr-xcosθ-xr-xsinθθ+yr-ysinθ+(yr-y)cosθθ=yeω-xcosθ+ysinθ+vrcosθrcosθ+vrsinθrsinθ=yeω-vx+vrcosθr-θ=yeω-vx+vrcosθe
ye=-xr-xsinθ-xr-xcosθθ+yr-ycosθ-(yr-y)sinθθ=-xeω+xsinθ-ycosθ-vrcosθrsinθ+vrsinθrcosθ=-xeω-vy+vrsinθe
将上式合并写出得到位置误差微分方程
pR=xeyeθe=yeω-vx+vrcosθe-xeω-vy+vrsinθeωr-ω
设李雅普诺夫函数为
V1=12xe2+ye2+θe2
求其导数如下,当渐进稳定时导数小于0;
V1=xexe+yeye+θeθe
xe=-kxxe,ye=-kyye,θe=-kθθe
上式系数为正时,李雅普诺夫函数的导数小于零,系统渐进稳定
代入微分方程得到控制律如下:
vx=yeω+vrcosθe+kxxe
vy=-xeω+vrsinθe+kyye
ω=ωr+kθθe
差动轮与全向轮的区别是,全向轮小车速度方向与四个轮子的共同朝向相同可为任意方向,而差动轮小车的切向速度方向与X轴重合,故方程中vy=0,微分方程如下:
pR=xeyeθe=yeω-v+vrcosθe-xeω+vrsinθeωr-ω
选择Lyapunov函数如下:
V2=12xe2+ye2+1k(1-cosθe)
对上式沿求导:
V2=xexe+yeye+1kθesinθe=xeyeω-v+vrcosθe+ye-xeω+vrsinθe+1kωr-ωsinθe =-xev+xevrcosθe+yevrsinθe+1kωrsinθe-1kωsinθe=-xev+xevrcosθe+yevrsinθe+1kωrsinθe-1kωsinθe
选择如下速度控制输入:
v=vrcosθe+kxxe
ω=ωr+vr(kye+kθsinθe)
将上式代入Lyapunov函数导数得到:
V2=-kxxe2-kθkvrsin2θe
当上式系数为正时,V2≤0,故以上Lyapunov函数选择正确。
由此得到基于运动学模型的轨迹跟踪速度控制律为[2]:
vω=vrcosθe+kxxeωr+vr(kye+kθsinθe)
其中,k,kx,kθ为控制器参数。
将控制律代入微分方程得下式:
pR=xeyeθe=ye(ωr+vr(kye+kθsinθe))-kxxe-xe(ωr+vr(kye+kθsinθe))+vrsinθe-vr(kye+kθsinθe)
上式在零点附近线性化,忽略高次项得
pR=ApR
A=-kxωr0-ωr0vr0-vrky-vrkθ
系数值与角速度和速度指令值共同决定系统根,当系数为正是所有根为负数。
仿真系统结果图如下:
图3 轨迹跟踪结构图
图中q=(v ω)T,v、ω分别为移动机器人的线速度和角速度,εI=(x y θ) T,对于差动机器人运动学方程可表示为:
εI=xyθ=cosθ0sinθ001vω=Jqc
图中J=cosθ0sinθ001;pR=xeyeθe;qc=q;
对于全向轮机器人运动学方程可表示为:
xyθ=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001vxvyω=Rθ-1vxvyω
,仿真结果如下图:
图4 圆形轨迹跟踪仿真图
图中×点线为差动轮跟踪轨迹,О点线为全向轮跟踪轨迹。
三、全向轮平台的设计
对全向轮采用如下图所示的结构时,进行系统分析与设计
图5 互补型全向轮(o