文档介绍：第1章麦克斯韦方程
§1-1 基本电磁量
我们在“大学物理”课程中学习了一些电磁量。电磁量大体上分为两大类:源量和场量。源量包括电荷与电流;场量包括电场强度矢量、电位移矢量、磁场强度矢量、磁感应强度矢量,以及标量电势等。
一、源量
从“大学物理”课程中我们知道,电荷是一种物质,它遵守电荷守恒原理,即电荷既不能被创造也不能被消灭。这一观点是物理学的基本假设之一。
假设电量为q的电荷分布在体积V内,在该体积之内任何一点P(x, y, z) 处,体积元 Dt 内的电荷量 Dq与其体积之比的极限值称为电荷密度,有时也称为电荷体密度 r (x, y, z),即
(1-1-1)
电荷q还可以分布在良导体表面厚度为h的很浅的薄层之内,我们可以不考虑薄层的厚度,就把电荷看做分布在良导体的表面 S 上。在该曲面 S 上任何一点P(x, y, z) 处,面积元 Ds内的电荷量 Dq与其面积之比的极限值,称为表面电荷密度,也称为电荷面密度 rS(x, y, z),即
(1-1-2)
如果电荷q分布在横截面很细的细线L上,这时我们可以不考虑细线L的粗细,只考虑电荷q沿长度方向的分布。在细线L上任何一点P(x, y, z) 处,线元 Dl内的电荷量 Dq与其长度之比的极限值,称为线电荷密度,或称为电荷线密度 rL(x, y, z),即
(1-1-3)
一般说来,无论电荷分布在体积、面积还是长度上,都不一定是均匀的,因此上面三种电荷密度都是空间坐标P(x, y, z) 的函数,在交变场中它们还是时间t的函数。图1-1-1给出了三种电荷密度的示意图。
图1-1-1 三种电荷密度示意图
反之,如果已知电荷在空间V,表面 S 或细线L上的分布关系,通过对相应电荷密度函数的体积分、面积分或线积分,就能求出总的电荷量
(1-1-4)
电荷流动就形成了电流。显然,电流是电荷q对时间t的变化率,即
(1-1-5)
当电流在空间流动时,各处的大小和方向都是不同的。为了反映这些特征,我们引入电流密度矢量的概念。空间任意给定点P(x, y, z) 的电流密度矢量定义为电流流动方向的单位横截面上通过的电流,即
(1-1-6)
上式中,n为电流流动方向的单位矢量。图1-1-2给出了电流密度矢量J的示意图。
反之,如果已知电流密度矢量J的分布函数,则在任何形状曲面 S 上流过的电流可以由曲面积分来计算
(1-1-7)
上式中,ds = nds,称为矢量面积元,简称矢量面元。
对于良导体,由于趋肤效应,高频电流主要是分布在良导体表面以下很浅的薄层内。为此我们引进表面电流的概念。在良导体表面上的点P(x, y, z) ,作与电流线垂直的线元 Dl,假设垂直通过 Dl的表面电流为 DI,则点P(x, y, z) 处的表面电流密度矢量定义为
(1-1-8)
上式中单位矢量n的意义与式(1-1-6)相同。表面电流密度矢量JS,从其定义式可以看出,它的量值实际上是垂直通过单位宽度横截线的电流,因此其单位是安培每米(A/m),而不是安培每平方米(A/m2)。实际上表面电流是在很薄的薄层内通过的。假设表面电流沿薄层深度方向不发生变化,当薄层深度为 Dh时,则电流流动方向的横截面为 Ds = DhDl,因此电流密度矢量为
(1-1-9)
把上式与式(1-1-8)相比较可知,两种电流密度矢量的关系为
JS = JDh (1-1-10)
图1-1-2 电流密度矢量的示意图
为了与表面电流密度矢量JS相区别,有时也把式(1-1-6)定义的电流密度矢量J称为体电流密度矢量。之所以叫体电流密度矢量,是因为电流在体积里流动。但是,我们必须注意,体电流密度是垂直通过单位横截面的电流,因此它的单位是安培每平方米(A/m2),而不是安培每立方米(A/m3)。
在电导率为 s 的导电媒质中,如果存在电场,在电场的作用下自由电子将发生定向运动形成电流,这种电流称为传导电流。传导电流密度矢量J与电场强度矢量E的关系为
J = sE (1-1-11)
这就是我们在“大学物理”课程中学过的微分形式的欧姆定律。上式中电导率 s 的单位是电阻率单位欧姆米(W × m)的倒数,叫做西门子每米,通常用符号记作(S/m)。铜的电导率为 s = ×107 S/m,橡胶的电导率为 s = 10-13 S/m。
在气体或真空中,如果存在自由电荷,在电场的作用下将发生定向运动形成电流,这种电流称为运流电流。它由自由电荷密度 r 和电荷的平均运动速度v来确定
Jv = r v (1-1-12)
图1-1-3 电流连续性方程示意图
现在我们来考察一个任意形状的封闭曲面 S 内外的电荷与电流的关系,如图1