数学建模案例1.doc

文档介绍：报童卖报问题
问题的重述
报童每天清晨从邮局购进报纸零售,,,晚上卖不出去的可以退回,但退回价格要比购进价格低,。请你给报童筹划一下,他应如何确定每天购进报纸的数量,以获得最大的收入。

报童购进数量应根据需求量确定,但需求量是随机的,所以报童每天如果购进的报纸太少,不够买的,会少赚钱;如果购进太多,卖不完就要赔钱,这样由于每天报纸的需求量是随机的,致使报童每天的收入也是随机的,因此衡量报童的收入,不能是报童每天的收入,而应该是他长期(几个月、一年)卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看,这相当于报童每天收入的期望值,以下简称平均收入。

b 购进价格
a 零售价格
c 退回价格
三。模型的基本假设
假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握了需求量的随机规律,即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是,(r=0,1,2,…)。不考虑有重大事件发生时卖报的高峰期,也不考虑风雨天气时卖报的低谷期。

根据上面的符号约定,显然有。设报童每天购进n份报纸,因为需求量r是随机的,r可以小于n、等于n或大于n;由于报童每卖出一份报纸赚,退回一份报纸赔b-c,所以当这天的需求量r≤n,则他售出r份,退回n-r份,即赚了()r,赔了(b-c)(n-r);而当时,则份全部售出,即赚了(b-c)n。
记报童每天购进n份报纸时平均收入为,考虑到需求量为r的概率是,所以
, (-1)
问题归结为在已知时,求n使最大。
通常需求量r的取值和购进量n都相当大,将r视为连续变量,这时转化为概率密度函数,这样(-1)式变为:
, (-2)
计算


,
令得
, (-3)
使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足(-3)
因为所以(-3)式可变为

即有(-4)
根据需求量的概率密度P(r)的图形()很容易从(-4)式确定购进量n。
在图中,用分别表示曲线下的两块面积,则(-3)式又可记作:
(-5)
因为当购进份报纸时:
是需求量