文档介绍：排列组合基础知识讲座
首先看一道简单的例题
例1:用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数,可以有多少种组法?
解答:
题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字,然后组成一个2位数,问一共可以组成多少个这样的2位数。假设我们随意选取1,2,可以组成12和21,虽然都是由1,2组成,但由于位置不同,仍然是两个不同的数字。由于和位置有关,所以这是排列问题。
(注意:虽然题目问的是有多少种组法,但仍然属于排列问题)
排列公式的定义如下
也可写成P(n,r)其中n表示总共的元素个数,r表示进行排列的元素个数,!表示阶乘,例如6!=,5!= ,但要特别注意1!=0!=1。假设n=5,r=3,则
P(5,3)=
在这个题目里,总共的元素个数是4 ,所以n=4,从所有元素中取出2个进行排列,所以r=2。根据公式
P(4,2)=
因此共有12种组法。
下面我们一起来看考试当中出现的一个题目:
例2. 黄、白、蓝三个球,从左到右顺次排序,有几种排法?
解答:
假设我们已经找出了两种排列方法(黄、白、蓝) 和(蓝、白、黄),可以发现虽然都是用的一样的球,但因为和位置有关,所以还是两种不同的排法。很明显这属于排列问题。在这里,总共的元素个数是3 ,所以n=3,从所有元素中取出3个进行排列,所以r=3。根据公式
P(3,3)= ( 计算的时候注意0!=1)
因此共有6种排法。
如果我们把这个题目改一改,变成
例3 黄、白、蓝三个球,任意取出两个,对这两个球从左到右顺次排序,有几种排法?
解答
这仍然属于排列问题,只不过r变成了2。在这里,总共的元素个数是3 ,所以n=3,从所有元素中取出2个进行排列,所以r=2。根据公式
P(3,2)= ( 计算的时候注意1!=1)
因此还是有6种排法。
下面我们这个题目再变一下
例4 黄、白、蓝三个球,任意取出两个,有几种取法?
解答:
假设我们第一次取出黄球,第二次取出白球,或者第一次取出白球,第二次取出黄球,可以发现虽然顺序不同,但都是同一种取法,即(黄,白)和(白,黄)是同一种取法。由于和取出的球的排列位置无关,因此这属于组合问题。
组合公式的定义如下
也可写成C(n,r)其中n表示总共的元素个数,r表示进行组合的元素个数,!表示阶乘,例如6!=,5!= ,但要特别注意1!=0!=1。假设n=5,r=3,则
C(5,3)=
另外,为便于计算,还有个公式请记住
例如C(6,2)=C(6,4)
在例4里,总共的元素个数是3 ,所以n=3,从所有元素中任意取出2个进行组合,所以r=2。根据公式
C(3,2)= ( 计算的时候注意1!=1)
因此有3种取法。
基础知识讲完后,我们进行一次随堂模拟考试,下面是公考中曾经出现过的题目
考试题1.
林辉在自助餐店就餐,他准备挑选三种肉类的一种肉类,四种蔬菜中的二种不同蔬菜,以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序,则他可以有多少不同选择方法?
解答:
这里涉及到了解答排列组合问题中常用到一种方法:分步法。即把完成一件事情的过程分成几步,每一步的可供选择的方案数相乘就是总的可供选择的方案数。例如完成一件事情需要两步,第一步有2种选择,第二步有3种选择,如果不考虑完成顺序(即先完成第一步再完成第二步,或先完成第二步再完成第一步效果一样),则总的选择数为2乘3等于6。
本题中,就餐分成三步,第一步挑选肉类,第二步挑选蔬菜,第三步挑选点心。在每一步的挑选中,由于挑选的物品是同一种类(例如从四种蔬菜中挑选两种,虽然种类不同,但挑出的仍然是蔬菜,与挑选时的顺序无关),所以每一步的挑选是组合问题。
第一步的选择数为C(3,1)= ,
第二步的选择数为C(4,2)=
第三步的选择数为C(4,1)=
由于不考虑挑选食物的顺序,所以总共有
种
考试题2.
将五封信投入3个邮筒,不同的投法共有()
解答:
这个题也采用分步法。分成五步,第一步将第一封信投入邮筒,第二步将第二封信投入邮筒,……第五步将第五封信投入邮筒。在每一步中,每一封信都有三个邮筒的选择,即可选择数是3。由于结果与五封信的投递次序无关,所以共有
考试题3:
从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?
解答:
这个题和例题1有相似处,但要注意队与队之间的区别只与组成队员有关,而与队员的排列顺序无关。例如,1,2,3,4,5,6号队员组成一队,不论他们怎么排列,123456和654321仍然是同一只队。因为和位置无关,所以这是组合问题。
总共的元素个数是9 ,所以n=9,从所有元素中任意取出6个元素进行组合,所以r=6。根据公式
C(9,6)=
因此有84种取法。
(注意: