文档介绍：高校理科通识教育平台数学课程
概率论与数理统计
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讲授
孙学峰
协方差和相关系数
§ 协方差和相关系数
1. 定义若E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在,则称其为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X, Y)或Cov(X, Y), 即
Cov(X,Y) = E[X-E(X)][Y-E(Y)]
协方差
协方差
离散型随机向量
其中 P{X=xi ,Y=yj}=pij i, j=1, 2, 3, ….
连续型随机向量
3. 协方差计算公式
Cov(X,Y)=E(XY )-E(X)E(Y)
(1)若 X与Y独立,则Cov(X, Y)=0
注
(2)D(X±Y) = D(X) + D(Y)±2Cov(X, Y)
4. 协方差的性质
(1)Cov(X, Y) = Cov(Y, X)
(2)Cov(aX, bY) = abCov(X, Y), a,b 为常数
(3)Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
(4)当X与Y相互独立时,有Cov(X, Y) = 0
例1 设二维随机变量的联合分布律为
X
0
1
P
q
p
Y
0
1
P
q
p
解由(X,Y)的联合分布律,可得X与Y的边缘分布律为
均为0-1分布,于是有
其中p+q=1,求的协方差.
p
0
1
0
q
0
1
0
求
解因为
同理可得
例2 设二维(X,Y)随机变量的密度函数为
由协方差的性质(2)知, 协方差取值的大小要受到量纲的影响, 为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差
1. 定义对于随机变量X和Y, 若D(X)≠0, D (Y)≠0, 则称
为随机变量X和Y的相关系数(标准协方差) 。
当ρXY = 0时, 称X与Y不相关。
(1)|ρXY| ≤ 1;
(2)|ρXY| = 1当且仅当 P{Y=aX+b}=1 , 其中a, b为常数。
相关系数ρXY刻划了随机变量X和Y的线性相关程度。
相关系数(标准协方差)
证明(1)
即
(2) 由方差性质得
成立的充分必要条件为
而