文档介绍：天津师范大学
本科毕业论文(设计)
题目:泰勒展开式中余项的应用
学院:数学科学学院
专业:数学与应用数学
泰勒展开式中余项的应用
摘要:泰勒展开式是数学分析及复变函数中的重要内容,、拉格朗日型余项、积分型余项和柯西型余项,:一是佩亚诺型余项在极限运算、函数凹凸性、广义积分和级数敛散性方面的应用;二是拉格朗日型余项在证明一些等式或不等式、根的存在性、,这有助于我们对泰勒展开式中的各类余项实施进一步推广和应用.
关键词:泰勒展开式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余项;泰勒级数.
目录
1 引言 1
2 预备知识 1
泰勒多项式 1
泰勒展开式的余项 2
佩亚诺型余项 2
拉格朗日型余项 2
积分型余项与柯西型余项 3
泰勒级数 3
3 泰勒展开式余项的应用 4
佩亚诺型余项的应用 4
极限运算的应用 4
判断函数凹凸性及拐点 6
判别广义积分收敛性 7
判别级数敛散性 9
拉格朗日型余项的应用 10
一些等式或不等式的应用 10
证明根的唯一存在性 13
近似计算与误差估计 14
4 参考文献: 15
1 引言
,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,,泰勒展开式占有重要地位,并以各种形式贯穿全部内容,它可广泛应用与多种数学问题,,在数学计算和在信息科学的研究中,泰勒多项式几乎是开辟计算捷径道路的基础.
事实上,各种数学分析教材的内容侧重点有所不同,而且一般高等数学教材中仅介绍了如何用泰勒展开式展开函数,,在没有理解泰勒展开式的前提下,? 这并不是一件简单的事情,本文将对此课题进行归纳总结,主要介绍带佩亚诺型余项和带拉格朗日型余项的泰勒展开式在各种问题中的应用,并附以典型例题来归纳演绎,将此类问题更加系统化、,希望能为初学者提供有益的帮助.
2 预备知识
泰勒多项式
我们在学****导数和微分概念时已经知道,如果函数在点可导则有
.
即在点附近,用一次多项式逼近函数时,其误差为的高阶无穷小量,然而在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用到二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为,
.
逐次求它在点处的各阶导数,得到
,,,…,,
即
,,,…,.
由此可见,多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定.
对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数,由这些导数构造一个次多项式
,
称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式,的各项系数称为泰勒系数.
泰勒展开式的余项
佩亚诺型余项
若函数在点存在直到阶的导数,则,即
.
上式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺(Peano)型余项.
特别的,当时,称泰勒公式的特殊形式
.
为带有佩亚诺型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式.
拉格朗日型余项
若函数在上存在直到阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得
.
上式同样称为泰勒公式,它的余项为
, .
称为拉格朗日(Largrange)型余项.
当时,得到泰勒公式
,.
为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.
积分型余项与柯西型余项
若函数在点的邻域内有连续的阶导数,则,有
.
其中称为积分型余项.
由于连续,在(或)上保持同号,因此由推广的积分第一中值定理,可将积分型余项写成,其中介于与之间,,则得到
.
由于
,
因此又可进一步把改写为
.
上式称为泰勒公式的柯西(Ca