文档介绍：函数复****主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射
2、函数
构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同,通常考察的是函数的定义域和对应法则相同
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义,零的负分数指数幂没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
三、函数的值域(注意函数的定义域)
1求函数值域的方法
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的函数;
②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式;
③分离常数:适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);
④单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑤图象法:二次函数必画草图(关键是二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标,与轴的交点,注意题目中自变量的取值范围)求其值域;
例:求下列函数的值域:(1),; (2)
(3) (4), (5)
解:(直接法)(1)因为,而,,
所以:
(分离常数法)(2)要使函数有意义,则,解得. 所以原函数的定义域是.
,所以值域为
(换元法)(3)令,则,,
当时,,所以值域为。
(单调性法)(4)任取,且,则,因为,所以:,当时,,则;
当时,,则;而当时,
于是:函数在区间上的值域为。
(图象法)(5)二次函数的对称轴为,即.
画出函数的图象,由图可知,当时,; 当时,.
练****单调性法)
: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为奇函数。
:
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
②若奇函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ,D2,D1∩D2要关于原点对称]
①看定义域是否关于原点对称
②看f(x)与f(-x)的关系:若,则f(x)为偶函数;若,则称y=f(x)为奇函数
函数的奇偶性也可以通过下面方法证明(主要用于有关对数函数的奇偶性判断):
奇函数偶函数
例:判别下列函数的奇偶性:
(1); (2)
解:(1)原函数定义域为,对于定义域的每一个x,都有
, 所以为奇函数.
(2)原函数定义域为R,对于定义域的每一个x,都有
,所以为偶函数.
例:(利用奇偶性求解析式)已知是偶函数,时,,求时的解析式.
解:当时,,又由于是偶函数,则,
所以,当时,.
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义:
2 设是定