文档介绍：数列应用题专题训练
一、储蓄问题
对于这类问题的求解,关键是要搞清:(1)是单利还是复利;(2)存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元,每期利率为r,经过n期,按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。
复利是一种计算利率的方法,即把前一期的利息和本金加在一起做本金,再计算下一期的利息。设本金为P,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,则复利函数式为y=P(1+r)x。
例1、(储蓄问题)某家庭为准备孩子上大学的学费,每年6月30日在银行中存入2000元,连续5年,有以下两种存款的方式:
(1)如果按五年期零存整取计,即每存入a元按a(1+n·%)计本利(n为年数);
(2)如果按每年转存计,即每存入a元,按(1+%)n·a计算本利(n为年数)。
问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高?
分析:这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利,但由于利率不同,因此最后的本利也不同。
解:若不计复利,5年的零存整取本利是
2000(1+5×)+2000(1+4×)+…+2000(1+)=11950;
若计复利,则2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。
所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。
二、等差、等比数列问题
等差、等比数列是数列中的基础,若能转化成一个等差、等比数列问题,则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例2、(分期付款问题)用分期付款的方式购买家用电器一件,价格为1150元。购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%。若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日,问分期付款的第10个月该交付多少钱?全部货款付清后,买这件家电实际花了多少钱?
解:购买时付出150元,余欠款1000元,按题意应分20次付清。
设每次所付欠款顺次构成数列{an},则a1=50+1000×=60元,
a2=50+(1000-50)×=,a3=50+(1000-50×2)×=59,……an=60-(n-1)·
所以{a
n}是以60为首项,-,
故a10=60-9×=
20次分期付款总和S20=×20=1105元,实际付款1105+150=1255(元)
答:,全部付清后实际共付额1255元。
例3、(疾病控制问题)流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感,据资料记载,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,以后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人,问11月几日,该市感染此病毒的新患者人数最多?并求这一天的新患者人数。
分析:设11月n日这一天新感染者最多,则由题意可知从11月1日到n日,每天新感染者人数构成一等差数列;从n+1日到30日,每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
略解:由题意,11月1日到n日,每天新感染者人数构成一等差数列an,a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n—30;从n+1日到30日,每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30,bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30 ,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
故共感染者人数为:=8670,化简得:n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍),即11月12日这一天感染者人数最多,为570人。
例4(住房问题)某城市1991年底人口为500万,人均住房面积为6 m2,如果该城市每年人口平均增长率为1%,每年平均新增住房面积为30万m2,求2000年底该城市人均住房面积为多少m2?()
解:1991年、1992年、……2000年住房面积总数成AP
a1 = 6×500 = 3000万m2,d = 30万m2,a10 = 3000 + 9×30 = 3270
1990年、1991年、……2000年人口数成GP
b1 = 500 , q = 1% ,
∴2000年底该城市人均住房面积为:
点评:实际问题中提炼出等差、等比数列。
例5 (浓度问题) 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器