文档介绍：指数函数
概念:一般地,函数y=a^x(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。
注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质:
规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。
>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;
当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
:“大增小减”。即:当a>1时,图像在R上是增函数;当0<a<1时,图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法:
当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;
当底数中含有字母时要注意分类讨论;
当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;
对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
对数函数
由于指数函数y=ax在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数,
我们把指数函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=logax(a>0,a≠1).
因为指数函数y=ax的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=logax的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.
为了研究对数函数y=logax(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=logx,y=logx的草图
由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数y=logax(a>0,a≠1).
图
象
a>1
a<1
性
质
(1)x>0
(2)当x=1时,y=0
(3)当x>1时,y>0
0<x<1时,y<0
(3)当x>1时,y<0
0<x<1时,y>0
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在(0,+∞)上是减函数
补充
性质
设y1=logax y2=logbx其中a>1,b>1(或0<a<1 0<b<1)
当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2
当0<x<1时“底大图高”即若a>b,则y1>y2
比较对数大小的常用方法有:
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax(a>0,a≠1)
y=logax(a>0,a≠1)
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
函
数
值
变
化
情
况
当a>1时,
当0<a<1时,
当a>1时
当0<a<1时,
单调性
当a>1时,ax是增函数;
当0<a<1时,ax是减函数.
当a>1时,logax是增函数;
当0<a<1时,logax是减函数.
图像
y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数随着的不同,定义域、值域都会发生变化,,当的图像和性质,列表如下.
从中可以归纳出以下结论:
它们都过点,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.
时,幂函数图像过原点且在上是增函数.
时,幂函数图像不过原点且在上是减函数.
任何两个幂函数最多有三个公共点.
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减性
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递增
在第Ⅰ象限单调递减