文档介绍：第五讲微分方程模型
一、微分方程模型概述
二、人口增长问题
三、传染病的传播
四、微分方程数值解法
五、进一步的学****br/>第五讲微分方程模型
微分方程模型是连续性模型中最主要的部分,模型的建立主要是基于机理分析的方法,利用所研究问题内部的联系,利用微元法,通过建立微分方程或微分方程组描述问题的本质。
一、微分方程模型概述
所谓微元法就是考察变量的一个微小变动对结果的影响,进而得到反映变化规律的微分方程。
微分方程模型分为:常微分方程(组)模型(ODEs),和偏微分方程(组)(PDEs)模型。
第五讲微分方程模型
建立微分方程模型的步骤
(1)根据问题要求,确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数)
(2)找出这些量所满足的基本规律(根据物理、几何、化学等学科中的原理以及实际问题中给出的条件,所做的假设等等,有时还可以从数据上进行挖掘)。
(3)根据这些规律,列出关于未知函数变化率的方程。并确定定解条件
微分方程模型的求解
解析解法、数值解法
第五讲微分方程模型
二、人口增长问题
背景
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999
人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
世界人口增长概况
中国人口增长概况
年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000
人口(亿)
研究人口变化规律
控制人口过快增长
一个简单的计算公式
假设今年人口 x0, 人口的年增长率为 r,则k年后人口
第五讲微分方程模型
二、人口增长问题
指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)
基本假设: 人口(相对)增长率 r 是常数
第五讲微分方程模型
二、人口增长问题——马尔萨斯人口模型
x(t) ~时刻t的人口
该模型的结果表明,随着时间增加,人口按指数规律无限增长。
这与实际相符么?为什么?
第五讲微分方程模型
二、人口增长问题——马尔萨斯人口模型
指数增长模型的应用及局限性
与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合
适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
可用于短期人口增长预测
不符合19世纪后多数地区人口增长规律
不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据
人口增长率r不是常数(逐渐下降)
第五讲微分方程模型
二、人口增长问题——阻滞增长模型(Logistic