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文档介绍：第 节格林公式及其应用
第 节格林公式及其应用
公式
定理 L 为有界闭区域 D 的正向边界, Pxy, 和
QP
Qxy, 在 D 上有连续偏导数,则Pdx Qdy dxdy .
LDxy
注. L D 的正方向(诱导定向)规定为:当观察者在 L 上沿此方向
行走时, D 总是位于他左侧,即 D 的外边界取逆时针方向,内边界
D 的正向边界也记为D.
1
推论. 2dxdy xdy ydx ,或者dxdy xdy ydx .
DD DD2 
证.(1) D 即是 X 型区域,又是 Y 型区域:
设 D : yx y yx, axb,则 Pxydx, 
12
L
ba b
Pxyx,, dx Pxy x dx Pxy ,, x Pxyx dx
12 21
ab a
yx
b 2 Pxy, P P
dx dy dxdy ,故dxdy Pdx ;
yy y 
ayx1 D DL
设 D : xy x xy, cyd,则 Qxydy, 
12
L
cd d
Qx y,, ydy Qx y ydy Qx  y ,, y Qx y y dy
12 21
dc c
xy
d 2 Qxy, Q Q
dy dx dxdy ,故 dxdy Qdy ;
xx x 
cxy1 D DL
(2)对于一般的平面区域 D ,可以将其分解成若干上述区域的并:
QP n
DD D D,于是dxdy Pdx Qdy ,注意在
12 n 
xy i1
DD i
位于D 内部的各个Di 上 Pdx Qdy 恰好被积分两次,而方向相反,
同济老姚高数笔记(小兵整理) 1
第 节格林公式及其应用
故积分值互相抵消,在位于 D 边界的各个Di 上, Pdx Qdy 均只被
积分一次,同时它们连起来就是整个D ,即得,证毕.
xy22
1围成图形的面积.
aa22
112
解. dxdy xdy ydx  acos td b sin t  b sin td  a cos t  ab.
DD22 0
xa cos3 t
02t 围成图形的面积.
 3 
 ya sin t
2 2
1133 3 3 3a
解. A xdyydx acos ta  sin t  a sin ta  cos t  dt .
22L 0 8
I y x dx 3 x y  dy ,其中 Lx:1 22 y 4 9,逆时针.
L
QP
解. Idxdydxd31y 18.
DDxy
I eyxydxeyxdxxsin  cos  y,其中 L 为 y  2xx 2 上
L
从O0,0到 A2,0的一段有向弧段.
0
解. Id22xdy xdx .
LAO AO D 2
L 为从O 到 A1,1的一段,则取 B1, 0 , I .
LABBO AB BO
“补线法”.
I 2cos12sin3xy32 y x dx  y x x22 y dy ,其中 L 为 2x  y2
L

上从O0,0到 A,1的一段弧.
2
0 22
3 2 
B,0,则 Iy12 ydy.
2 LABBO AB BO 1 44
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x ydx x ydy 
I 