文档介绍：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……1个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关系是
在这个函数里,自变量x 作为指数,而底数2是一个大于0且不等于1的常量.
1、指数函数的定义
一般地,函数y=a x (a>0,且a≠1)叫做指数函数, .
问: ① y= - 4 x ,y=x 4 , y=(-2) x 是指数函数吗?
问: ②为什么规定底数a大于0且不等于1 ?
如果a=0 那么当x>0时,a x =0,当x≤0时, a x 无意义
如果a<0 如y=( - 4) x 这时对于x= 等,在实数范围内函数值不存在.
如果a=1 这时y=1x =1是一个常量,对它没有研究的必要
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1即a>1或0<a<1在这个规定下,y=a x的定义域是R
2、指数函数y=a x (a>0,a≠1)的图象和性质
画y=2x 的图象
列出x,y的对应表,用描点法画出图象
…
-3
-2
-
-1
-
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
画的图象
列出x,y的对应表,用描点法画出图象
…
-3
-2
-
-1
-
0
1
2
3
…
…
8
4
2
1
…
问:函数与图象间的关系?
一般地,函数与的图象关于y轴对称。
在同一坐标系内画出指数函数的图象
指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
性质
0
x
y
(0,1)
y=1
y
x
(0,1)
y=1
o
(1)定义域: R
(2)值域: (0,+∞)
(3)过点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
3、例题分析
,每经过1年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留1个有效数字)。
分析:通过恰当假设,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并可列表、描点、作图,进而求得所求。
解:设这种物质量初的质量是1,经过x年,剩留量是y
经过1年,剩留量=1×84%=;
经过2年,剩留量=1×84%=;……
一般地,经过x年,剩留量
根据这个函数关系式可以列表如下
x
0
1
2
3
4
5
6
y
1
用描点法画出指数函数的图象。从图上看出,只需
答:约经过4年,剩留量是原来的一半。
例2、说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系,并画出它们的示意图:
(1)
(2)
解:(1)比较函数与的关系:
与相等,
与相等,
与相等,
由此可以知道,将指数函数的图象向左平移1个单位长度,就得到函数的图象。
说明:一般地,当时a>0时,将函数y=f(x)的图象向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象;
当时a<0时,将函数y=f(x)的图象向右平移|a|个单位得到的y=f(x+a)图象;
例3:比较下列各题中两个值的大小:
(1) , ;
(2) -, -;
(3) , .
对上述解题过程,可总结出比较同底数幂大小的方法,即用指数函数的单调性,其基本步骤如下:
(1)确定所要考查的指数函数;
(2)根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性;
(3)比较指数大小,然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系。
(4)对于不同底不同指数的函数值比较大小,一般要找中间量.