文档介绍：学科:数学
教学内容:圆的方程
【基础知识精讲】
:三个独立条件确定一个圆,根据已知条件可用待定系数法求圆的方程时,如果已知圆心或半径,或圆心到某直线的距离,通常用圆的标准方程,如果已知圆经过某些点,,:
(1)过原点的圆x2+y2+Dx+Fy=0或(x-a)2+(y-b)2=a2+b2
(2)圆心在x轴上的圆x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0)或(x-a)2+y2=r2
(3)圆心在y轴上的圆x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0)或x2+(y-b)2=r2
(4)圆心在x轴上,且与y轴相切的圆x2+y2+px=0,或(x-a)2+y2=a2
(5)圆心在y轴上,且与x轴相切的圆x2+y2+Ey=0或x2+(y-b)2=b2
直线与圆心位置关系的判断方法有两种:
(1)判别式法(代数法):将直线和圆的方程联立得到一个关于x、y的二元二次方程组,消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程,则
△>0直线和圆相交(有两个公共点)
△=0直线和圆相切(有一个公共点)
△<0直线和圆相离(无公共点)
若涉及到弦长等问题,则可结合韦达定理进一步解决.
(2)几何法:设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则
d<r直线与圆相交(有两个公共点)
d=r直线与圆相切(有一个公共点)
d>r直线与圆相离(无公共点)
若涉及到弦长等问题,则可抓住圆心到直线的距离d、圆的半径r、弦长的一半l三者组成的直角三角形解决.
,设两个圆的半径分别为R、r,圆心距为d,则
(1)两个圆外离d>R+r
(2)两个圆外切d=R+r
(3)两个圆相交|R-r|<d<R+r
(4)两个圆内切d=|R-r|
(5)两个圆内含0≤d<|R-r|
:
(1)过直线l:Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的公共点的圆的方程可以写作(Ax+By+C)+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0;
(2)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F2=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共点的圆(除C2外)的方程可以写成(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.
特殊地,令λ=-1即得过两个圆的公共点的直线的方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
:圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为
、几何法、参数法等方法求与圆有关的轨迹问题.
本节学****方法:
(1)数形结合的思想方法;
(2)充分利用圆的几何性质,简化计算;
(3)循序渐近的学****方法.
【重点难点解析】
同学们现在所学****的圆与初中所学****的圆是一样的,也就是说,,先复****圆的几何意义,几何性质,要复****曲线与方程的概念,从而学****圆的方程”这一节内容.
例1 求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.
分析一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则
整理得
解得D=-11,E=3,F=-30
分析二设圆心C(a,b)且圆的方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2 ∵|CA|=|CB|,CB⊥l
解得a=,b=- 从而r=
故所求的方程的(x-)2+(y+)2=
分析三设圆心为C,则CB⊥l,∴CB的方程为y-6=3(x-8),即3x-y+18=0,又AB的垂直平分线的方程为x+y-4=0
联立
∴半径r==
∴所求圆的方程为(x-)2+(y+)2=
例2 当m为何值时,直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交,相切、相离.
分析一(判别式法)将y=mx-m-1代入圆的方程化简整理得:
(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0
∵△=4m(3m+4)
当△=0时,得m=0或m=-时,直线与圆相切.
当△>0时,得m>0或m<-时,直线与圆相交.
当△<0时,得-<m<0时,直线与圆相离.
分析二(几何法)由已知得圆心坐标为(2,1)半径r=2,圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d==
当d=2时,即m=0或m=-时,相切
当d>2时,即-<m<0时,相离
当d<2时,即m>0或m<-时,相交
例3 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆C