文档介绍：线性代数课件_Lect10
§33 带度量的向量空间
一向量的内积
二向量的度量
定义设是欧氏空间任取则的长度规定为
定义设是欧氏空间且均不是零向量则与的夹角规定为
这里
定义若则称向量与向量正交记为
例设则对任意与任意均有
定理设是欧氏空间与是中任意两个向量则有
1三角不等式
2勾股定理若则
三标准正交基
定义设是欧氏空间是中
m个非零向量若两两正交则称
是正交向量组由单位向量构成的正
交向量组称为标准正交向量组
例在欧氏空间中自然基是标准正交向量组
定理设是欧氏空间的一个正交向量组则线性无关
证设是正交向量组令
两边同时与做内积得
因两两正交故
于是
又故由此得
同理可证所以
线性无关▌
线性无关向量组的标准正交化
问题线性无关的向量组不一定是正交向量组但能否在线性无关向量组的基础上构造出一个正交向量组呢
设线性无关令
则
并且故
又故从上式解得
已知线性无关故于是是正交向量组
令则是标准
正交向量组此外
定理设是欧氏空间是中m个线性无关的向量则中存在m个标准正交的向量并且
也就是说任何线性无关的向量组均可化为标准正交向量组
Schmidt正交化方法
已知线性无关
正交化
单位化
例已知中的
求三个标准正交的向量
解 1 正交化
单位化
则即为所求的一个标准正交向量组▌
向量空间的标准正交基
定义设是欧氏空间则中由正交向量组构成的基称为正交基中由标准正交向量组构成的基称为标准正交基
例欧氏空间的自然基即是标准正交基
定理设是欧氏空间且则一定存在标准正交基
例已知欧氏空间中的两个标准正交向量把扩充为的标准正交基
解利用Schmit正交化方法
取向量易证线性无关因此它们是的一个基
令
则两两正交且无零向量因此它们是的一个正交基
令
则即为的一个标准正交基▌
方法二通过解线性方程组
设向量与两已知向量正交则有
求解得其一般解为于是求单位向量解即为所求
四正交矩阵
定义设若则称是正交矩阵
注正交矩阵满足
设为正交矩阵的列向量组为
由得
所以
又欧氏空间且
与的内积
故有
即是中的标准正交向量组
定理设则是正交矩阵的充分必要条件是的列行向量组是标准正交的
例设其中证明是正交矩阵
证明
∵的列向量组标准正交
∴是正交矩阵
另法∵
∴
又而
故所以
于是是正交矩阵▌
例设证明若可逆则可表示为
其中是n阶正交矩阵是n阶可逆上三角阵上式称为实方阵的正交分解
小结
1 向量空间的基维数坐标
求过渡矩阵求坐标
2 子空间
求齐次线性方程组解空间的基维数
求向量组生成的向量空间的基维数
掌握内积及其性质
求向量的长度及两个向量间的夹角
判断两个向量是否正交
判断一个向量组是否为正交向量组
掌握正交矩阵及其性质
标准正交向量组Schmidt正交化方法
第四章行列式
§41 排列
定义由n 个数12 n组成的一个有序数组称为一个n阶排列
例如2315 均为五阶排列
定义在一