文档介绍：2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析
江苏省常熟市中学査正开 215500
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1. 当时,函数的最大值为_______
解:设
,,,,根据的单调性结合绝对值的性质知的最大值为18
评析:本题主要考查导数与绝对值的有关知识,较基础
2. 在△ABC中,已知,则AC=_____
解:,
评析:本题主要考查向量的有关概念与运算,有一定的灵活性
{3,4,5,6,7,8}中随机选取 3个不同的数,这 3个数可以构成等差数列的概率是_______
解:考虑取出三数从小到大成数列
当=1时,有3,4,5;4,5,6;5,6,7;6,7,8四组
当=2时,有3,5,7;4,6,8两组,所以有6种情形,
从6个元素中随机选取 3个不同的元素共有种情形,故概率为
评析:本题以集合与数列为载体,考查排列组合与概率的知识,本题数据较小,可用枚举法处理,体现文理科学生的公平性
4. 已知,方程的一个实数根是,则的值为______
解:
即
=
评析:本题全面考查复数的概念与运算和方程等知识
5. 在平面直角坐标系 XOY 中,双曲线的右焦点为F,一条过原点O且倾斜
角为锐角的直线与双曲线C交于A,B两点。若△FAB的面识为,则直线的斜率为________
x
y
O
B
A
F
解:由题可设斜率为(>0),
将代入C: 得
,,
,
评析:本题是解析几何试题、考查双曲线的方程、几何性质、直线方程、三角形面积等知识
检测学生数学的基本素养和运算能力
6. 设为正实数, ,则的取值范围是_________
解:两边取对数得,即的取值范围是
评析:本题考查指对数运算等知识,较为基础,考查学生的灵活性
7. 在四面体ABCD中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_____
解:由平面几何知识知底面三角形为直角三角形,且A点在底面上的射影
为三角形的外心所以即为BD中点,故
评析:本题是立体几何试题,主要考查空间几何体的性质与几何体的体积的计算
: ,,,,则________
解:设公差为d,公比为q,则
(4)-(3)得=20 , (3)-(2)得
(5)
(1)+(4)得,(2)+(3)得
两式相减得,(6)
得
,
评析:本题以等差、等比数列为载体,全面考查学生解方程组和代数推理等运算能力,本题运算要求较高
9. 将27,37,47,48,55,71,75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数则这样的排法有____ 种。
解:将7个数分成3类:
(1)3的数为 27,48,75,有3个
(2)3-1的数为47,71,有2个
(3)3+1的数为37,55,有2个
要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数,则7个位置上第1位和第5位应排同一类数,第2和第6位排同一类数,第3和第7位排同一类数,且第4位必排第(1)类共有3种排法,三类数排到三类位置共有种,每一类位置各有种排法,故共有种排法。
评析:本题是一个排列组合与数论结合的问题,重点考查学生利用数论中剩余类思想和分类讨论的能力,要求较高,