文档介绍：“三角变换与解三角形”的技巧性应用
湖南津市一中周毅
三角变换与解三角形是高中数学考试的必考内容,而且是这几年考试的热点跟增长点,无论是期中、期末还是会考、高考,都是高中数学的必考内容之一。因此,我们特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法,希望能起到抛砖引玉的作用。
一、三角变换及求值
考情聚焦:、求值是高考必考内容。
,解答题中易出现与新知识的交汇题。
、填空、解答题中都有可能出现,属中、低档题。
解题技巧: ,常用到如下变形
(1);
(2)角的变换;
(3)。
,常见有以下三种类型:
(1)“给角求值”,即在不查表的前提下,通过三角恒等变换求三角函数式的值;
(2)“给值求值”,即给出一些三角函数值,求与之有关的其他三角函数式的值;
(3)“给值求角”,即给出三角函数值,求符合条件的角。
例1:已知向量,且
(Ⅰ)求tanA的值; (Ⅱ)求函数R)的值域
解析:(Ⅰ)由题意得m·n=sinA-2cosA=0,
因为cosA≠0,所以tanA=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知tanA=2得
因为xR,,f(x)有最大值,
当sinx=-1时,f(x)有最小值-3
所以所求函数f(x)的值域是
二、正、余弦定理的应用
解题技巧:,是近几年高考的热点,它是在新的载体上进行的三角变换,因此要时刻注意它重要性:一是作为三角形问题,它必然要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关三角形的性质,及时进行边角转化,有利于发现解决问题的思路;其二,它毕竟是三角形变换,只是角的范围受到了限制,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的,注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,是使问题获得解决的突破口。
,三角形内角的正弦值一定为正,但该角不一定是锐角,也可能为钝角(或直角),这往往造成有两解,应注意分类讨论,但三角形内角的余弦为正,该角一定为锐角,且有惟一解,因此,在解三角形中,若有求角问题,应尽量避免求正弦值。
例2:(2010·辽宁高考理科·T17)在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理,余弦定理,考查了三角函数的恒等变换,三角函数的最值。
【思路点拨】(I)根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边,得到边的关系,再由余弦定理求角
(II)由(I)知角C=60°-B代入sinB+sinC中,看作关于角B的函数,进而求出最值
【规范解答】(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得
即由余弦定理得故,A=120°
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理,实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA,用b替换sinB,用c替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等,各项要同时替换,反之,用角的正弦替换边时也要这样,不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目,要注意三