文档介绍：第十一章曲线积分和曲面积分
【本章重要知识点】
1. 理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念,掌握它们的性质。
2. 理解两类曲线积分之间的关系和两类曲面积分之间的关系。
3. 熟悉掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法。
4. 掌握格林公式和高斯公式,并会使用平面曲线积分与路径无关的条件。
5. 会用曲线积分与曲面积分求一些几何量和物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重量、转动惯量、引力、功等)。
第一节对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
主要内容
对弧长的曲线积分
的计算要掌握以下要点;
(1)变量以曲线的方程代入;用弧微分公式代入,即统一积分变量,化为定积分;
(2)变化后的定积分,其积分区间取积分变量的最大变化范围,但下限必须小于上限。
计算方法(化为定积分)
(1) 参数式
(2)直角坐标
(3)极坐标
(4) 空间曲线
注(1)第一类曲线积分的性质与定积分的性质相类似,也有相应的性质:
若在上,则
中值定理:,使
特别是,其中是L的长度.
(2) 计算第一类曲线积分的关键是把弧长元素根据积分曲线方程的类型写出相应的表达式,并将积分曲线方程代人被积函数中化为定积分计算(定积分的上限必须大于下限)。
(3) 对称性:若, 且关于轴(或轴)对称,是关于(或)的偶函数(或奇函数), 则
3. 几何意义
是以平面上曲线为准线, 母线平行于轴, 高为时柱面的面积.
4. 实际应用
(1) 可微曲线的弧长为。
(2) 设可微曲线的密度为,则曲线L的总质量,曲线的重心坐标。
(3) 设可微曲线的密度为,则曲线对轴、轴、坐标原点的转动惯量分别为
二典型例题
例1 设圆圈围成的区域,试问以下两式有无错误?
(1)
(2)
答(1)正确的。因为上的第一类曲线积分, 在, 被积函数定义在上, 故被积函数可以用代入计算。
(2)是错误的。因为是区域上的二重积分, 在内, ,即在上, ,故被积函数不能用代替。
例2 求曲线积分, 其中是以为顶点的三角形的边界。
解闭曲线由直线段组成,它们的方程分别为,它们的弧积分分别为从而
例3 计算,其中是双纽线的右面一瓣。
解
例4 计算,其中为圆周
解法1 采用极坐标,
解法2 直角坐标,
由对称性,
解法3 利用参数方程,设
,由对称性可知:
解法4 由参数方程
,
由对称性,
(显然此题最简便的方法是解法1)
例5 .
解因为而L又是关于轴(或轴)对称,是关于(或)
原式=
例6 均匀曲线段,的线密度为,求此曲线关于轴的转动惯量。
解,
例7 计算曲线积分,是空间圆周
解因曲线的方程具有对称性,所以有,故
注意:上例的对称性的解法较简单,但不易想到。
第二节对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
一、主要内容
1. 对坐标的曲线积分的两种计算方法
(l) 可采用统一变量,化为定积分的形式。但由于对坐标的曲线积分是和所沿曲线的方向有关,因此,在确定定积分的上、下限时,将起点作为定积分的下限,终点作为定积分的上限,此时,下限不一定小于上限了,这是与第一类曲线积分的显着区别。具体计算为:
L的起点对应,终点对应,且在L上连续,则
,L的起点对应,终点对应在L上连续,则。
,L的起点对应,终点对应在L上连续,则。
注①第二类曲线积分的向量形式表示其物理背景,变力沿曲线所作的功更为明显;但在数学教材中更多采用其数量形式:,对这两种形式都要了解,会相互转换。
②前面在计算黎曼积分时能利用对称性来简化运算,但在第二类曲线积分中由于涉及积分域的定向问题,因此不能直接用对称性,一般地,应在化为定积分后再考虑对称性来简化这积分的计算。
③当是直线, 若有
(2) 可采用格林公式
格林公式:设闭区域由分段光滑的闭曲线围成,,在上具有一阶连续偏导数,则其中是的取正向的边界曲线。
格林公式揭示了平面区域上的重积分和沿该区域边界的第二类型曲线积分之间的关系。因此,它可以看作牛顿――莱布尼兹公式在二维空间的推广。
使用格林公式时,应注意以下两点:
应是闭曲线,否则要设法补成闭曲线,再应用格林公式,然后减去所补曲线段上的曲线积分。
应在上连续,否则要再间断点处用“挖洞”的方法加以处理。
2 两类曲线积分的关系
。
其中:是有向曲弧线的切线方向的方向余弦,切线向量与的方向一致。
3 曲线积分与路径无关的条件
设在单连通平面区域上有一阶连续偏导数,则下面四个命题是等价的:
(1)与路径L无关,其中为内任意一条闭曲线;
(2);
(3)
(4)在内存在单值函数,故有
即的原函数。
注判定在单连通域D内曲线积分与路径无关的充要条件中,最易验证的是:;