文档介绍：绪论
数值分析的特点:
:面向计算机,算法包括+-*/和逻辑运算,都是计算机能够直接处理的。
有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精读要求,对近似算法要保证收敛性和数值稳定性,还要对误差进行分析。
有好的计算复杂性。
有数值试验。
:(模型、观测、截断、舍入)
#截断:数学模型不能得到精确解时,用数值方法求近似解,其余精确解之间的误差。
#舍入:计算机计算时,计算机字长有限,原始数据在计算机上表示会产生误差,计算过程又会产生新的误差。
:精读、稳定性、算法是否简单
。
#稳定性:某算法初始误差或计算过程中的舍入误差影响小。此算法为数值稳定的。
#病态:初始微小误差对最终结果产生极大影响。
插值法
1..两种插值公式:
①:拉格:
②:牛顿:
2 .均差与导数的关系:
差分:略
。
#现象:节点增多,P(x)和f(x)在更多地方相等,但是两节点之间,有时误差很大。
#办法:将插值区间分成若干小区间,在小区间上用地磁插值,即分段低次插值。
。
分段低次插值函数虽然有一致收敛性,但光滑性较差。实际应用中需要二阶光滑度,即二阶连续导数。样条曲线由分段三次曲线并接而成,在连接点上二阶导数连续的曲线。
第三章函数逼近
逼近:要求在给定精读条件下,求计算次数少的近似公式。即对于f(x)求多项式p(x)。使f(x)-p(x)在某种衡量标准下最小。
拟合:实际中,仅根据离散数据是不可能求出f(x)的精确表达式的,而只能寻找其近似表达式。此类问题称为离散数据的拟合问题。
①Legendre多项式:
递推公式:
正交性:
②chebyshev多项式:
正交性:
递推公式:
:
:
第四章数值积分
-cots公式及其代数精度。
N=1 (1 , 1)
N=2 (1 ,4 ,1)
N=3(1 ,3 ,3 ,1)
N=4(7 32 12 32 7)
N-C公式的代数精度:
:
①复化梯形:h/2 (A 2)
②复化simpsons:h/6 (A 4 2)
3. Romberg和gauss求积法的基本思想。
Romberg算法:用加速收敛方法求积。即在步长二分的过程中反复用复化求积公式进行计算,使误差越来越小,达到精读要求。
Gauss:选取适当的Xk和Ak,使插值型求积公式具有2n+1阶精度,称此求积公式为高斯求极公式。构造:
第五章常微分方程数值解
公式:
后退的Euler公式:
改进的Euler公式:
-kutta方法的基本思想
设法在(Xn,Xn+1)内多预测几个点的斜率值,然后将他们加权平均,作为平均斜率K*构造出具有更高精度的计算格式。
-kutta 公式:
第六章解